任意对称系强各向异性介质准纵波相速度和群速度解析表达式

论文摘要

如今人们已经普遍认识到,各向异性在地球介质中是普遍存在的,从地壳一直到地核都存在着各向异性。在地壳中,周期性薄互层（PTL）和岩石中定向排列的孔隙和裂隙是诱发地震各向异性的主要因素;在上地幔,岩石矿物的晶格优势方位排列（LPO,lattice-preferred orientation）能引起很强的各向异性;地球内核也是各向异性的,这可能与其自转特征有关;最近对内核各向异性的研究表明在内核里可能还有最内核的存在（不同的文献中称之为most inner core,innermost core,inner inner core或者inner-most inner core）。地震各向异性是极富价值的信息来源,已成为研究地学问题的有效手段,无论在天然地震学领域还是勘探地震学领域都是研究的前沿和热点课题,相关的研究包括各向异性弹性波基础理论研究、波场模拟、旅行时正反演、AVO分析、速度分析、弹性参数反演、横波分裂以及利用天然地震资料分析地壳、上地幔和地核的物性结构等诸多方面。有人评价,关于地震各向异性的研究正在发展成为专门的各向异性地震学。弹性波在各向异性介质中和在各向同性介质中的传播特征有许多明显的差别,其中之一就是在各向同性介质中相速度和群速度始终都是等价的,而在各向异性介质中,平面波的相速度和群速度通常在大小和方向上都不一致,并且方向上差别即使在弱各向异性条件下也不能忽略,只有在极少数的特殊方向上相速度和群速度才完全相等。各向异性介质中平面波的相速度平方是Christoffel矩阵的特征值,可由Christoffel特征方程求出。相速度是最基本、最重要的物理量之一,许多物理量都需要基于它来导出,此外,许多物理定律（例如Snell定律）的数学形式也需要用相速度或相慢度来表示,但实际观测中相速度和相角只有在某些特殊角度或采用特殊手段才能观测到,一般情况下得到是射线速度和射线角（即能量的传播速度和方向）。由于在完全弹性的各向异性介质中群速度等价于波前的传播速度和射线速度,因此群速度的地位也就显得格外重要,它是实现许多地球物理应用（例如各向异性介质中的射线追踪、地震定位、层析成像、弹性常数反演、振幅计算等）的基础。但是,各向异性相速度精确表达式是一个非常复杂的关于弹性常数和相传播方向的函数,难以用于理论分析和应用;作为相速度数学上的导出量,群速度的求取需要计算相速度的导数,这样的群速度精确表达式即使能够导出也因为过于繁冗而没有实际意义,因此,在过去的几十年里许多作者都致力于发展出形式简单的、明确的相速度和群速度近似公式,所用的方法主要有Taylor级数展开法、Fourier级数展开法、球谐函数展开法以及从量子力学引入的扰动法,这些研究大多针对一些简单的各向异性情况,例如椭圆各向异性、横向各向同性等,或者限定在对称面内对二维问题进行讨论,这些情况下各物理量的数学表达式相对简单,比较容易处理。还有一些作者基于弱各向异性前提假设作近似处理,导出的近似公式无论在精确程度还是在适用范围方面都有较大的局限性。与前人的这些工作相比,本文提出的相速度和群速度近似公式（尤其是相角表示的相速度和群角表示的群速度近似公式）可应用于任意对称系的各向异性介质,即使在各向异性很强时仍然很精确。这些近似公式可用于解释各向异性介质中的波动现象,分析波属性对弹性常数的依赖性,发展地球物理应用的算法理论等。下面简要介绍本文每一部分的主要内容和结论。在第一章中,首先回顾了地震各向异性从19世纪起源、早期不受重视、中期缓慢发展到后来蓬勃发展的研究历史,然后将过去的几十年里对各种对称系各向异性介质相速度和群速度解析解的研究作了较为详细的介绍,最后对本文每一章节的主要内容作了简要的介绍。在第二章中,从最基本的热力学定律出发,较为系统的叙述了一般各向异性介质中平面波传播的基础理论,详细推导了表征各向异性介质中平面波传播特征的基本物理量的数学表达式,包括相速度、相慢度、群速度、群慢度和偏振等,讨论了它们的物理意义和相互之间的关系。在第三章中,将qP波相速度平方分解为线性部分和高阶小量部分,代入波矢坐标系（ x3轴沿波面法向的坐标系）中的Christoffel特征方程化简得到一个关于高次项的一元三次方程,由此方程容易解得高次项的分式近似和相角表示的相速度V （φ,θ）的高阶近似。在相速度近似的基础上,利用群相关系导出相角表示的群速度V g（φ,θ）高阶近似。然后连续利用多元函数级数展开,导出群角表示的相速度V（φg,θg）和群速度Vg（φg,θg）近似公式。这一章中导出的高阶近似公式都是在线性部分的基础上增加一个分式附加项,形式并不太复杂。从第二章和第三章的理论分析可知:沿径向方向（longitudinal directions）传播的三类体波的偏振为纯模式（即qP波的偏振方向沿波面法向,qS波的偏振方向垂直于波面法向）,在径向方向,qP波的相速度和群速度相等,速度的方向导数为零;qP波的相速度和群速度有相同的极大值和极小值,而极值点必定也是稳定点,因此相速度和群速度的极值都出现在径向方向（注意这一性质对qS波不成立）;相速度V （φ,θ）和群速度Vg（φ,θ）的线性近似值通常低于精确值,只有在径向方向上才等于精确值;相速度V（φg,θg）和群速度Vg（φg,θg）的线性近似值通常高于精确值,只有在径向方向上才等于精确值;TI介质中相速度V （φ,θ）的高阶近似通常高于精确值;偏振偏离和群相偏离是各向异性介质弹性波的普遍特征,偏离角的大小可用来衡量各向异性的强弱程度;除了在径向方向上,群相偏离通常大于偏振偏离;偏振偏离角和群相偏离角的大小可用来衡量近似公式的误差大小;在第四章中,为考察近似公式的精确程度和误差的分布规律,采用不同对称系、不同各向异性强度的模型作数值计算和比较,结果用等值线图、曲线图和表格给出。数值比较的结果与第二章和第三章的理论分析非常吻合,此外,从图表中还可得出一些新的结论:TI介质qP波的其它高阶近似并不具有相速度V （φ,θ）高阶近似始终不高于精确值的特点,而是时高时低;除TI对称系外,其它对称系的高阶近似有时高于精确值,有时低于精确值,而且中间必定存在等于精确值的方向;高阶近似的精度明显优于相应的线性近似的精度;各近似公式的误差随各向异性强度的增强而增大;目前常用的各向异性强度定义(Vmax - Vmin/)Vave×100%(其中Vave = (Vmax+Vmin)/2)并不能很好地反映近似公式的最大相对误差,其原因可解释为该定义体现的是介质整体的各向异性程度,而最大相对误差则是与局部的偏振偏离/群相偏离程度相关;同阶的近似公式按精确程度排序,从高到低依次为: V （φ,θ）、Vg（φg,θg）、Vg（φ,θ）、V（φg,θg）;V （φ,θ）和Vg（φg,θg）的高阶近似可适用于很强的各向异性,而Vg（φ,θ）和V（φg,θg）的高阶近似的精度明显不如前两者。最后,在第五章中对本文的主要结论作了简单的小结。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 引言
• 1.1 地震各向异性的研究历史
• 1.2 各向异性基础理论的研究进展
• 1.3 本论文的主要内容
• 第二章 基础理论
• 2.1 各向异性介质的弹性性质
• 2.1.1 介质形变与应变能密度
• 2.1.2 弹性常数和本构关系
• 2.1.3 弹性常数的坐标变换
• 2.1.4 不同对称系各向异性介质的弹性常数
• 2.1.5 弹性常数的物理限制条件
• 2.2 运动方程
• 2.3 Christoffel 方程和平面波的相速度、慢度
• 2.3.1 Christoffel 方程
• 2.3.2 相速度
• 2.3.3 慢度
• 2.4 群速度、波前速度和能流速度
• 2.4.1 群速度
• 2.4.2 波前速度
• 2.4.3 能流速度
• 2.5 群相关系
• 2.5.1 群速度与慢度关系
• 2.5.2 群速度与相速度关系
• 2.5.3 群慢度与慢度关系
• 2.6 偏振向量
• 第三章 近似公式
• 3.1 波矢坐标系下的Christoffel 矩阵
• 3.2 相角表示的近似公式
• 3.2.1 相速度
• 3.2.2 群速度
• 3.3 用群角表示的近似公式
• 3.4 二阶近似
• 3.5 偏振偏离和群相偏离
• 3.5.1 偏振偏离
• 3.5.2 群相偏离
• 第四章 数值模型
• 4.1 三斜模型
• 4.1.1 模型I
• 4.1.2 模型II
• 4.2 单斜模型
• 4.2.1 模型I
• 4.2.2 模型II
• 4.3 斜方模型
• 4.3.1 模型I
• 4.3.2 模型II
• 4.4 TI 模型
• 4.4.1 模型I
• 4.4.2 模型II
• 4.5 立方模型
• 4.5.1 模型I
• 4.5.2 模型II
• 4.6 分析与讨论
• 第五章 结论
• 参考文献
• ij'>附录A 弹性常数表示的R_ij
• ij'>附录B 各向异性参数表示的R_ij
• 致谢
• 在学期间已出版和接受的论文