与高阶谱问题相联系的孤子方程的分解与有限维可积系统

论文摘要

本文的前几章对几个高阶的连续谱问题和一个离散谱问题进行了研究,得到了几个新的孤子族,并利用迹恒等式给出了其中两个方程族的Hamilton结构,然后借助于原谱问题及其伴随谱问题,通过非线性化方法,找到了位势与特征函数之间适当的约束关系（Bargmann约束或Neumann约束）,进而导出了几个新的有限维系统（Bargmann系统或Neumann系统）和一个辛映射（离散的有限维系统）。随后,利用Lax矩阵给出守恒积分的母函数,进一步证明了所得到这些有限维系统的Liouville可积性。最后作为应用,孤子方程的求解问题被分解成求解两个相容的常微分方程系统（对于离散情形,被分解成求解一个常微分方程系统和一个可积辛映射的简单迭代过程）。在论文的最后一章中,我们对耦合可积无散射方程进行了研究,利用相应的驻定演化方程和椭圆坐标,将方程的解用两个相容的常微分系统的解所表出,随后,引入超椭圆Riemann面与Abel-Jacobi坐标,拉直相应的流。作为应用,流的相容解在Abel-Jacobi坐标下被精确给出。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 前言
• §1.1 孤立子与孤立子理论的发展
• §1.2 可积系统与非线性化方法
• §1.3 本文的研究内容
• 第二章 一个新的可积系统
• §2.1 非线性演化方程族
• §2.2 一个新的Bargmann系统
• §2.3 Liouville可积性
• §2.4 解的表达式
• 第三章 一族新的微分-差分方程及其相关的Bargmann型可积系统
• §3.1 一族新的微分-差分方程
• §3.2 Hamiltonian结构
• §3.3 非线性化
• §3.4 Liouville可积性
• §3.5 解的表达式
• 第四章 与一个3×3谱问题相联系的Neumann型可积系统
• §4.1 一个新的Neumann系统
• §4.2 Liouville可积性
• §4.3 解的表达式
• 第五章 一个可积Neumann系统和一个非线性演化方程系统的分解
• §5.1 一个新的Neumann系统
• §5.2 Liouville可积性
• §5.3 解的表达式
• 第六章 与一个3×3矩阵谱问题相联系的新的非线性演化方程族
• §6.1 方程族
• §6.2 广义双Hamilton结构
• 第七章 耦合可积无散射方程流的分解与拉直
• §7.1 相关的方程族
• §7.2 流的分解
• §7.3 流的拉直
• 参考文献
• 致谢