特殊函数、Ramanujan模方程和平均值的一些性质

论文摘要

本文通过深入研究揭示了拟共形理论中的一些特殊函数（这些函数包括Gauss超几何函数、完全椭圆积分、广义椭圆积分、偏差函数?K（r）、λ（K）、ηK（t）及其广义形式等）的分析性质,建立了它们满足的一些不等式,运用这些结果,加强了显式拟共形Schwarz引理并改进了Ramanujan模方程解的某些已知的估计。此外,还研究了Sei?ert平均与Lehmer平均、广义Heron平均与单参数平均之间的关系。本论文分为四章:在第一章中,主要介绍了本文的研究背景,并引入本文所涉及的一些概念、记号和已知结果。在第二章中,首先用简单的方法解决了一个有关Gauss超几何函数的猜测。然后,通过研究E（r）与一些初等函数的组合的单调性质,得到了E（r）的一些精确界。最后,给出一个Ka（r）在r→1时的渐进不等式。在第三章中,首先通过深入研究Hu¨bner函数与初等函数的某些组合的单调性质,获得了Hu¨bner函数用初等函数给出的精确界。运用这些结果,改进了拟共形理论中的Hersch-Plfuger偏差函数已有的界。从而加强了显式拟共形Schwarz引理并改进了Ramanujan模方程解的估计。然后,建立了广义Hu¨bner函数ma（r） + log r与第二类完全椭圆积分E（r）的联系,得到了关于广义Hersch-Plfuger偏差函数?Ka（r）与广义Ramanujan模方程解的几个精确不等式。最后,得到了偏差函数λ（K）与ηK（t）的一些新的性质与不等式。在第四章中,获得了Sei?ert平均的最佳Lehmer平均界及广义Heron平均的最佳单参数平均界。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 1 绪论
• 1.1 引言
• 1.2 Gauss 超几何函数
• 1.3 完全椭圆积分与广义椭圆积分
• 1.4 Ramanujan 模方程
• 1.5 平均值
• 2 Gauss 超几何函数和（广义）完全椭圆积分的性质
• 2.1 关于Gauss 超几何函数的一个猜测的简单证明
• 2.2 第二类完全椭圆积分的界
• 2.3 广义椭圆积分的一些性质
• 3 Ramanujan 模方程
• 3.1 Hǘbner 上界函数的估计及其应用
• 3.2 广义Hersch-P°uger 偏差函数的界
• 3.3 偏差函数λ（K） 和ηK（t） 的一些性质
• 4 均值不等式
• 4.1 Seiffert 平均值的最佳Lehmer 平均值界
• 4.2 广义Heron 平均值的最佳单参数平均值界
• 参考文献
• 致谢
• 附录