关于广义模糊积分的收敛定理

论文摘要

本文主要研究广义模糊积分的收敛理论以及广义模糊可积函数（列）的某些性质。主要工作如下: （1） 给出了广义三角模的一个减弱了的定义。为了后面讨论的需要,提出并研究了广义三角模的两个条件（S-1）和（S-2）,并给出了各种形式的广义三角模例子。 （2） 通过一个反例,指出了文[8]给出的一个广义模糊积分序列的收敛定理（即定理1）中,有的条件不合理。在该条件下,虽然能保证定理的充分性成立,但它并非是必要的。本文通过减弱该条件来修正这一收敛定理。作为这一定理的推论,在广义三角模S满足（S-1）limα→0S[α,∞]=0的条件下,得到了广义模糊积分序列收敛定理的简洁形式,这一结果包括了（S）模糊积分序列的收敛定理为其特例。 （3） 研究了非负模糊可测函数列依测度收敛与广义模糊积分平均收敛之间的关系。给出了“依测度收敛”蕴涵“广义模糊积分平均收敛”的一个充分必要条件,这一结果是文[8]定理3的改进。此结果表明,文[8]定理3中“μ是上自连续的”这一条件是多余的。作为这一结果的推论,还得到了依测度收敛蕴涵广义模糊积分平均收敛的几个简洁、实用的充分性条件。另一方面,文中还给出了广义模糊积分平均收敛蕴涵依测度收敛的几个简洁的充分性条件,以及使两者等价的条件。类似地,还讨论了“依测度基本”与“广义模糊积分平均基本”的关系。推广了（S）模糊积分理论中的相应结果。 （4） 进一步讨论了广义模糊可积函数（列）的某些性质,证明了在广义三角模S满足（S-1）的条件下,不仅广义模糊可积函数具有弱积分绝对连续性,而且广义模糊可积函数列具有一致弱绝对连续性。此外,还得到了非负模糊可测函数列广义模糊一致可积的一个充分必要条件。改进并推广了文[10]中关于（S）模糊积分的相应结果。

论文目录

• Acknowledgement
• Abstract in Chinese
• Abstract in English
• Preface
• Chapter 1 Basic concepts and properties of （G） fuzzy integrals
• §1.1. Fuzzy measure and generalized fuzzy integral
• §1.2 On the generarized triangular norms
• Chapter 2 On a convergence theorem for sequences of （G） fuzzy integrals
• §2.1. A counterexample
• §2.2. Convergence theorems of （G） fuzzy integral sequence
• Chpater 3 Relations between the convergence in fuzzy measure and the mean convergence of （G） fuzzy integrals
• §3.1 Convergence in fuzzy measure and mean convergence of （G） fuzzy integrals
• §3.2. fundamental convergence in fuzzy measure and mean fundamental convergence of （G） fuzzy integrals
• Chapter 4 Some properties of （G） fuzzy integrable functions
• References