满足一致Lipschitz条件的最优反馈控制问题

论文摘要

本文研究满足一致Lipschitz条件的最优反馈控制问题。在控制理论中，通常将控制类分成开环控制和闭环控制两个大类。对于开环控制的研究，在最优控制理论中已经有了Pontryagin最大值原理这个有效的工具，它提供了最优开环控制的一个必要条件。即，在最优开环控制作用下的最优轨线与其共轭变量之间的存在某种联系，据此我们可以刻画最优开环控制（或是筛选出可能的最优开环控制）。相对而言，闭环控制多运用于对控制系统的能稳性研究，而在最优控制理论的研究就比较少。究其原因，闭环的最优控制问题要求找一个闭环控制，使得这个闭环控制对于任意在给定区域内的初始条件（即初始时刻及初始状态）下的控制系统是一致最优的。通俗地讲，开环的最优控制问题是个单目标问题，而闭环的最优控制问题则是个多目标问题。特别地，对于带约束的闭环控制集，如何去讨论其值函数，进而求出闭环的最优控制，在这方面我们还没有足够的认识。为此，我们先研究一类特殊的闭环控制：反馈控制（控制只是时间与状态的函数）。根据常微分方程的理论，为了保证受控系统方程解的存在唯一性，自然要求反馈控制关于状态变量是Lipschitz的。本文就讨论满足一致Lipschitz条件的最优反馈控制问题。文章在线性二次控制问题的框架下，由开环控制与闭环控制之间的联系，用夹逼准则得出了满足k-Lipschitz条件的反馈控制问题的值函数，它有别于通常开环最优控制问题的值函数。通过对这个值函数的讨论，我们给出了满足一致Lipschitz条件的最优反馈控制存在的一个必要条件，即最优反馈控制必为线性反馈。再通过对带约束的线性最优反馈控制问题的讨论，得到满足一致Lipschitz条件的最优反馈控制存在的充分必要条件，并给出了最优反馈控制具体的表达式。最后在一个更广的反馈控制集：|u|≤k|x|中得到非线性最优反馈控制问题解的存在唯一性。

论文目录

• 中文摘要
• 英文摘要
• 第一章 绪论
• 1.1 无约束线性二次反馈最优控制问题的回顾
• 1.2 满足k-Lipschitz条件的最优反馈控制问题的提出
• 第二章 k-Lipschitz最优反馈控制问题的值函数
• 2.1 开环控制与闭环控制的联系
• 2.2 值函数满足的HJB方程的导出
• 2.3 值函数的严格单调性
• 第三章 k-Lipschitz最优反馈控制满足的必要条件
• 3.1 一个规划问题的求解
• 3.2 最优反馈控制满足的必要条件
• 第四章 k-Lipschitz最优反馈控制存在的充要条件
• 4.1 最优反馈控制存在的充分必要条件
• 4.2 最优反馈控制存在的充分条件
• 4.3 局部一致最优反馈控制的存在性
• 第五章 带约束的非线性最优反馈控制问题
• 5.1 问题的提出
• 5.2 全局最优反馈控制的存在唯一性
• 参考文献
• 致谢