时滞神经网络和生命能量系统的稳定性分析

论文摘要

时滞微分方程在力学、物理学、生命科学、经济学、医学等诸多领域都有广泛的应用。时滞微分方程的研究无论在理论上还是在应用上都有十分重要的意义。分支现象发生在依赖于参数的系统。当系统参数在某些特定值附近变化时，系统的解的某些结构属性发生了变化，这种变化称为分支现象，这些参数值称为分支值。对系统分支性的研究是应用数学领域一个引人注目的方向，尤其是诸如具时滞的生态模型、生理模型、神经网络模型等实际模型的稳定性与分支性受到了人们的关注。本文运用时滞微分方程的分支理论研究了生物学中两类具体的模型——神经网络模型和生命能量系统模型。本文主要研究工作如下：(1)研究了含三个神经元的BAM神经网络模型的Pitchfork分支问题，得到了一条Pitchfork分支曲线，并给出了分支曲线图。将神经元由三个推广到n＋1个，研究了一类含有n＋1个神经元的多时滞BAM神经网络模型。利用儒歇定理及其推论分析了该动力系统特征方程根的分布情况，进而得到该系统解析解稳定和Hopf分支存在的条件，画出了分支图，给出相应的数值例子。同时还研究了含有n＋1个神经元的多时滞BAM神经网络模型的Pitchfork分支问题，得到了Pitchfork分支曲线，讨论了在分支曲线的不同区域里平衡点的稳定性。并由此可以观察到时滞是如何影响系统的动力学特性的。(2)将Euler方法应用于含有n＋1个神经元的多时滞BAM型神经网络模型，对模型进行离散化，利用离散系统Hopf分支理论，证明了数值Hopf分支的存在性，得到了数值Hopf分支值与原方程的Hopf分支值的关系，证明了当步长充分小时，数值Hopf分支周期解的稳定性与原方程Hopf分支周期解的稳定性相同，给出相应的数值算例。(3)将时滞引入到生命能量系统模型中，对一类含有三个组分的特殊生命能量系统模型——食物链模型进行了具体的讨论，得到了该系统稳定和Hopf分支产生的条件，从生态学观点上指出了生命能量系统存在周期性震荡现象，并给出了含三个组分的食物链模型的数值算例。另外，对不含时滞的三组分食物链模型运用Euler方法离散化，通过讨论模型线性部分特征方程根的分布情况，研究了系统正平衡点的稳定性，得到了平衡点渐近稳定的条件。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 1 绪论
• 1.1 生物数学的发展
• 1.2 课题的研究背景与意义
• 1.2.1 神经网络概况及其研究现状
• 1.2.2 生命能量系统模型概况及其研究现状
• 1.3 近代时滞微分方程理论
• 1.3.1 时滞微分方程的基本概念及其发展
• 1.3.2 时滞微分方程分支理论的发展
• 1.3.3 时滞微分方程的数值处理
• 1.4 本文主要内容与主要结构
• 2 预备知识
• 2.1 时滞微分方程基本理论
• 2.1.1 基本概念
• 2.1.2 非线性系统的平衡点及其稳定性
• 2.2 时滞微分方程分支理论
• 2.2.1 Hopf分支理论及其基本定理
• 2.2.2 Pitchfork分支理论
• 2.3 时滞微分方程的数值处理
• 2.4 离散系统稳定性
• 3 一类具时滞的BAM神经网络模型的稳定性分析
• 3.1 引言
• 3.2 含三个神经元的BAM神经网络的Pitchfork分支
• 3.2.1 含三个神经元的BAM神经网络模型
• 3.2.2 含三个神经元BAM神经网络的Pitchfork分支
• 3.3 含多个神经元的BAM神经网络模型的稳定性分析
• 3.3.1 含多个神经元的BAM神经网络模型
• 3.3.2 稳定性分析
• 3.4 含多个神经元的BAM神经网络模型的Pitchfork分支
• 3.5 数值仿真例子
• 3.6 本章小结
• 4 时滞BAM神经网络的数值逼近
• 4.1 引言
• 4.2 时滞BAM神经网络模型
• 4.3 Hopf分支的数值逼近
• 4.4 数值仿真例子
• 4.5 本章小结
• 5 时滞生命能量系统模型的稳定性分析
• 5.1 引言
• 5.2 三维时滞食物链型生命能量系统模型的建立和稳定性分析
• 5.2.1 三维时滞食物链型生命能量系统模型的建立
• 5.2.2 三维时滞食物链型生命能量系统模型的稳定性分析
• 5.3 数值仿真例子
• 5.4 离散生命能量系统的稳定性分析
• 5.5 本章小结
• 结论
• 参考文献
• 攻读学位期间发表的学术论文
• 致谢