论文题目: 若干最小二乘问题的舍入误差研究
论文类型: 博士论文
论文专业: 计算数学
作者: 刘巧华
导师: 魏木生
关键词: 分解,最小二乘,改进的,舍入误差,数值稳定,增长因子
文献来源: 华东师范大学
发表年度: 2005
论文摘要: 最小二乘问题不仅是许多数学分支的基本工具,而且在经济学、统计学、测量学、最优化、信息处理、自动控制、工程技术和运筹学等应用学科中都有着广泛的应用,最小二乘问题的广泛应用,引起了数值代数领域诸多学者对最小二乘问题数值稳定性的高度重视。 本文,我们主要研究与最小二乘问题相关的数值算法和舍入误差估计。具体有如下五类问题: 1.LU和Cholesky分解的向前舍人误差估计 LU分解（高斯消去法）作为解可逆线性系统的重要工具,其舍入误差估计一直为人们所关注。事实上,长方矩阵的高斯消去过程在解约束最小二乘问题,确定矩阵数值秩的LU分解等问题中也扮演着及其重要的角色。现有文献在表达LU分解的向前舍入误差时不够简洁。我们将对LU和Cholesky分解的向前舍入误差进行研究,以简洁的形式表达出LU和Cholesky分解的向前舍入误差式。该表达式表明LU和Cholesky向前误差只与初始矩阵的子矩阵和舍入误差累积方式有关。在此基础上,我们估计了矩阵的LU因子,非奇异方程组的解的误差界。 2.改进的Gram-Schmidt（MGS）解最小二乘问题的误差估计 作为解最小二乘问题（?）‖Ax-b‖2三种常用的正交化算法之一,改进的Gram-Schmidt（MGS）有其独特的数值性质。选主列MGS（PMGS）的向后误差分析文献中已有人研究,但多数误差估计都是范数型估计。我们给出的PMGS的向后误差估计是元素型误差估计。另外我们还研究了PMGS的向前舍入误差。该结果表明如果A良态,则PMGS不仅保证得到的上梯形R-因子误差比较小,而且通过选择合适的误差限我们还可确定A的数值秩。在此基础上,我们进一步研究了PMGS解最小二乘问题时的向前向后舍入误差。 3.类PMGS解约束最小二乘问题的误差估计约束最小二乘问题 （?）‖Cx-h‖2,S={y:‖By-d‖2=（?）‖Bx-d‖2} 的极小范数解XLSE和加权最小二乘问题（WLS）:（?）‖（?）x-（?）‖2的极限解相等,即:（?）XWLS（T）=XLSE。利用二者的等价性,在（?）的PMGS取极限,我们得到类PMGS算法,并将约束最小二乘问题的解显式地表示出来。尽管该算法和Bj（?）rck的直接消去法等价,但利用该算法的推导方式可导出约束最小二乘问题
论文目录:
第一章 预备知识
§1.1 主要记号
§1.2 子空间与正交投影
§1.3 矩阵分解
第二章 LU和Cholesky分解的向前舍人误差分析
§2.1 浮点运算规则
§2.2 LU分解的向前舍入误差分析
§2.3 Cholesky分解的向前舍入误差分析
第三章 最小二乘问题
§3.1 最小二乘问题解的表示
§3.2 解最小二乘问题
§3.3 PMGS的数值性质和舍入误差分析
第四章 等式约束最小二乘问题
§4.1 等式约束最小二乘问题解的表示
§4.2 解等式约束最小二乘问题
§4.3 类PMGS消去算法
§4.4 类PMGS算法的舍入误差估计
§4.5 数值例子
第五章 刚性加权最小二乘问题
§5.1 解加权最小二乘问题
§5.2 刚性加权问题的数值稳定算法
§5.3 RBPMGS算法的舍入误差估计
§5.4 数值例子
第六章 各类矩阵分解的增长因子
§6.1 LU和Cholesky分解的增长因子
§6.2 MGS算法的增长因子
§6.3 类MGS算法的增长因子
§6.4 结语
参考文献
论文目录
后记
发布时间: 2005-07-18
参考文献
- [1].线性约束矩阵最小二乘问题：理论与算法[D]. 裘渔洋.浙江大学2007
- [2].Procrustes问题的迭代解法和两个矩阵扰动问题[D]. 王明辉.华东师范大学2008
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