求解变分不等式的自适应投影算法

论文摘要

变分不等式广泛地出现在信号图像处理、系统识别、滤波设计、自动控制、经济科学、运输科学、运筹学、管理学、物理学、非线性分析等领域.特别地,科学和工程领域中的许多问题,如障碍问题、土坝渗流问题、弹塑性接触问题和冰块融化问题,以及数学规划、互补问题和不动点问题都可以转化为变分不等式问题.因此变分不等式为求解一大类优化问题提供了统一的框架.所以,如何有效地求解变分不等式问题具有重要的理论与现实意义.近几十年来,已有许多求解变分不等式问题的算法.典型的方法有临近点算法、交替方向法、牛顿法、内点法、投影算法、神经网络等等.其中,当投影易于计算时,投影算法因其每步迭代计算量小,成为求解变分不等式问题最简单的方法之一.虽然,应用投影算法求解变分不等式问题已取得了较好的成果,然而已有的投影算法存在收敛慢或者收敛条件限制太强等缺点.因此在已有求解变分不等式问题的自适应投影算法的基础上,本文提出了新的自适应投影算法.并从理论上,严格证明了这些算法的全局收敛性,分析了算法的收敛速度.这两种投影算法克服了已有投影算法收敛慢且收敛条件太强的缺点.计算结果表明,新的自适应投影算法不仅可行,而且非常有效.全文共分为四部分,主要内容如下:第一部分预备知识.概述了变分不等式的定义、意义和一些变分不等式问题的基本理论,并给出了投影原理、一些关于投影算子的基本性质.此外,还介绍了已有的求解变分不等式问题的经典算法,说明了它们各自的优缺点,并简述了投影算法的发展.第二部分在已有投影算法的基础上,给出了求解变分不等式问题的一种新的自适应投影算法.该算法改进了已有自适应投影算法的搜索方向并建立了新的步长.改进的方向和步长在解附近均不趋于零,克服了已有投影算法收敛速度慢的缺点.在映射伪单调的条件下,证明了算法的全局收敛性,从而克服了已有投影算法收敛条件限制太强的缺点.由于采用了自适应准则,新算法的收敛性能与参数选取无关.同时,从理论上严格证明了算法是线性收敛的.计算结果表明新算法是可行的,而且非常有效.第三部分提出了新的求解变分不等式问题的自适应投影算法.与第二章算法相比,新方法采用了不同的步长选取准则.新的步长在解的附近也不趋于零,保证了算法具有较快收敛速度.该算法在映射伪单调的条件下也是全局收敛的,从而保证算法具有更广的适用范围.此外,在理论上严格分析了算法的收敛速度.数值结果表明,新算法不仅有效,而且可行.最后,总结了本文的主要工作,并将从几个方面对变分不等式问题作深入研究.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• 1.1 引言
• 1.2 变分不等式的定义和分类
• 1.3 变分不等式的基本结论
• 1.4 方法综述
• 1.4.1 临近点算法
• 1.4.2 交替方向法
• 1.4.3 牛顿型法
• 1.4.4 拟牛顿法
• 1.4.5 内点法
• 1.4.6 神经网络
• 1.5 投影算法研究进展
• 1.6 本文主要工作概述
• 第二章 求解变分不等式问题的新的自适应投影算法
• 2.1 引言
• 2.2 算法与收敛性分析
• 2.3 计算结果
• 2.4 本章总结
• 第三章 求解伪单调变分不等式的新的自适应投影算法
• 3.1 引言
• 3.2 算法与收敛性分析
• 3.3 计算结果
• 3.4 本章总结
• 总结
• 参考文献
• 攻读硕士期间研究成果
• 致谢