离散M（？）bius变换群的二元生成子群中元素孤立性的研究

论文摘要

有关离散群几何的研究已经有一百多年的历史,其主要研究对象是双曲度量下的等距映射群,也就是Mobius变换群.这一课题随着双曲几何的发展而日益完善,其侧重点也在不断变化,其中在离散群中孤立性的相关研究有着重要地位.通过对孤立性的定量估计,来明确离散的Mobius群的度量结构,这就可以描述该群在双曲空间中的几何作用.本文延续了J(?)rgensenT.的工作,在离散Mobius变换群的二元生成子群中,对其元素的孤立性进行了深入研究.结果表明,在双曲度量空间下,可以用不同的参数来描述和估计变换的孤立性.以上工作主要从分析角度和几何角度着手进行的.在几何上,主要研究变换f,g不动点的关系对它们的极限球或超球之间位置的影响.完全使用H3中的几何学对极限球和超球作出了刻画,并且将其作为J(?)rgensen不等式的一种几何解释.在分析上,主要研究了离散群中带有共面轴的双曲变换的领口定理,并给出了测地线与平移长度的若干估计.本文完成的主要工作如下：1.若<f,g>是离散群且二者的不动点集合相等,则当f,g为抛物变换时,范数越大,极限球越小；当f,g为双曲变换时,迹越大,超球越小；当f,g为椭圆变换时,旋转角越大,超球越小.如果<f,g>是离散群,f共轭于g且没有公共不动点,则存在一个正数,使得f,g的极限球或超球不相交.2.若<f,g>离散,f,g均为非抛物元素,其轴ax(f)和ax(g)共面且不交,t(f),t(g)为f和g的平移长度,当f,g都是双曲变换时,有当f,g都是斜驶变换,且其领口δ满足sinh(δ)≤1时,有│β(f)β(g)│sinh4/3(δ)≥6>0.792..以及当f是斜驶变换,g是阶数n≥3的椭圆变换时,有sinh(t(f))sin2(π/n)sinh2(δ)≥0.333....

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 0 前言
• 0.1 课题背景
• 0.2 孤立性的研究进展
• 0.2.1 几何方面的研究现状
• 0.2.2 分析方面的研究现状
• 0.3 本文研究的内容
• 1 准备
• 1.1 双曲几何模型
• 1.2 Mobius变换的分类及表示
• 1.3 常用记号及表达式
• 2 引理
• 2.1 Bearton提到的引理
• 2.2 Gehring和Martin提到的引理
• 3 几何结果
• 3.1 显式表达及置换式
• 3.2 极限球或超球与不动点的关系
• 4 分析结果
• 4.1 定理的双曲几何形式
• 4.2 带有共面轴的Mobius变换
• 参考文献
• 致谢
• 个人简历
• 在学期间发表的学术论文