连分数部分商的分形维数

论文摘要

连分数分形理论是由Janik在一个丢番图逼近问题中提出的,Janik主要考虑的是部分商有限的连分数集E和部分商不超过α的Ea连分数集,并且他证明了dimH E= 1,1/4<din#H E2<1.后来,I.J.Good通过欧拉多项式应用到连分数理论得到Ea的分形维数,通过这种方法可以得到任意精确程度的Ea分形维数,尤其他证明了0.5306< dimH E2< 0.5320.在1941年,Good研究了连分数部分商{an(x):n≥1}满足各种条件时集合的分形维数,在他所研究的结果中Good证明了当连分数部分商趋向于无穷大时的豪斯道夫维数为1/2,后来Hirst在1967年进一步研究当部分商以很快的速度趋向无穷大时的有关结论,在所得的全部结论中唯一限制{an}的条件是an≥f(n)和{an}趋向于无穷大.在这篇文章中将利用连分数分形维数的性质,利用降阶配齐方法估算当部分商满足某些条件的连分数的分形维数.最后给出了当连分数的部分商进一步限制在正整数序列中有关类似的结论.本文共分为三部分,主要内容安排具体如下：第一部分主要介绍了研究连分数分形维数的背景和发展过程,系统回顾了前人所作的工作及所得的结果并指出研究它的具体意义,最后给出了本文的主要内容和有关结果.第二部分介绍了文中涉及到的有关预备知识,给出了连分数和豪斯道夫测度与豪斯道夫维数的相关定义和性质,并介绍了估算分形集的豪斯道夫维数的上下界的一般方法,为下一章本文的具体内容做准备.第三部分是本文的主要论述部分,总共分为二小节,第一节介绍连分数分形维数的有关性质,第二节讨论了部分商满足一定条件连分数的分形维数的估计问题,主要讨论了当连分数部分商限制在正整数序列中的有关结论,并介绍利用降阶配齐的方法来估计连分数分形维数.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 1 绪论
• 1.1 问题研究的背景及意义
• 1.2 本文的主要结论
• 1.3 本文的结构和安排
• 2 预备知识
• 2.1 连分数的概念及基本性质
• 2.2 分形维数
• 2.3 豪斯道夫测度和豪斯道夫维数
• 3 连分数部分商的分形维数有关结论
• 3.1 连分数分形维数有关性质
• 3.2 部分商满足一定条件的连分数分形维数估计问题
• 3.3 总结与有关推论
• 结束语
• 致谢
• 参考文献