论文摘要
Hilbert空间上框架的概念是由R.J.Duffin和A.G.Schaeffer于1952年在研究非调和Fourier级数的一个深层次问题时正式提出的，他们抽取了Gabor在信号处理中的重要思想。但是Duffin和Schaeffer的这种思想在当时并没有引起广泛的兴趣，直到1986年Daubechies、Goodmann和Meyer的突破性研究才使得框架理论得到人们的广泛关注。自80年代小波理论诞生以来，研究者为解决实际问题将框架理论运用到小波分析中，这大大促进了框架这门学科在应用和理论方面的迅速发展。一直以来，框架已被用于信号处理、图像处理、数据压缩和采样定理的传统领域，现在它还广泛用于研究光学、滤波器、信号探测以及Besov、Banach空间的研究。另外，由于近几年来算子理论和Banach空间理论的引入，框架在理论方面开辟了一个新局面。随着越来越多的研究人员涉足这个领域，框架理论得到了迅速发展。2004年，为解决由局部框架构造整体框架的问题，Peter G.Casazza、Gitta Kutyniok和M.Fornasier把子空间框架的概念作为Hiibert空间中框架的自然推广而提出来。2005年，孙文昌教授又对特殊框架（如有界准投射算子、偏斜框架、外部框架等）进行研究，归纳总结出它们的共同特点，从而提出了g—框架的概念。子空间框架和g—框架都是Hilbert空间中框架概念的普遍推广。在本文中，我们将从泛函分析的角度以算子理论为工具来证明它们具有很多类似于抽象框架的性质。本论文由四部分构成。第一章，阐述了框架的发展历程及其现阶段的研究进程，给出了框架的基本概念，特别地举例讨论了Riesz框架和近—Riesz基的关系，最后介绍了本文的主要工作。第二章，主要研究了Hilbert空间中子空间框架的性质。首先介绍了子空间框架的产生背景，引入了子空间框架中如完备、恰当、最小等的基本概念，给出了Riesz分解的等价条件，证明了子空间框架的几个基本性质。在第三节我们先引入了子空间框架的分解算子、合成算子和框架算子，利用它们完善了文[11]命题2.5充分性条件的证明，推广了命题2.7的结论，进而提出并证明了子空间框架的摄动性质。其次，我们讨论了子空间框架和单位原子分解的关系，给出了框架构造的一种方法，证明了单位分解的摄动性。最后探讨了合成算子的态和子空间框架分类之间的对应关系。第三章，推导出了子空间Parseval框架的一个基本恒等式。首先介绍了Parseval框架恒等式的提出背景，然后利用算子理论把这个恒等式推广到了子空间Parseval框架的情形。我们还给出了恒等式的几种变形，包括一般子空间框架和子集分法重叠的情形。最后对推导出的结果作了详细讨论，特别地，我们推导出了恒等式两边同时为零地等价条件。第四章，主要研究了g-框架的相关性质和g—Parseval框架基本恒等式。首先给出了g—框架、g—框架算子和对偶g—框架的定义，接着推广对偶g—框架，完善了g—框架稳定性的讨论，提出并证明了g—框架的紧摄动性。其次，我们讨论了g—框架和单位原子分解的关系。最后推导出了g—Parseval框架的基本恒等式，并对它进行讨论，得到了类似上一章的结论。