具有脉冲效应分布参数系统及应用研究

论文摘要

分布参数系统是指具有无穷个自由度的系统。用数学语言讲，它是用偏微分方程，或偏微分积分方程，或偏微分方程和常微分方程的耦合方程来描述其运动规律的系统。分布参数系统理论经过四十多年快速发展已广泛应用于机械系统、环境系统、航空飞行器的数学建模、稳定性分析和控制研究。同时分布参数系统理论又可用于人口系统、种群繁衍和传染病控制等等。传染病是由寄生物所引起的，能在人群中相互传播的疾病。其一般传播过程是：病菌或病原体感染易感人群，受感染个体经过潜伏期发展成传染个体，传染个体经治疗变成免疫个体或易感个体。大多数流行病的发展受到个体生理年龄和染病年龄的影响，不同年龄段的个体受疾病感染程度不同，染病个体得病时间的长短与传染率和康复率有关。有些传染性疾病的传播依赖于虫媒介。为控制流行病的传播，对易感人群接种疫苗是重要方法之一。接种疫苗策略有两种：连续接种和脉冲接种。捕杀传染疾病的害虫是控制虫媒介传染性疾病的有效方法。为防止害虫的耐药性，常采用周期性脉冲喷洒杀虫剂方案。建立并研究传染病模型可揭示疾病流行规律，预测流行趋势，为发现、预防和控制疾病提供理论根据和策略。早在1927年，美国数学家Kermack和Mckendrick首先利用动力学方法建立了传染病的数学模型，从此有大量的用数学理论和方法研究传染病传染规律的文献出现。但他们中的大部分仅讨论用常微分方程描述的传染病模型，由于人群生理年龄和染病年龄对疾病发展的影响及虫媒介对疾病传播的作用，疾病的这些传播现象，不能很好地用常微分方程来表述，偏微分方程组，或偏微分方程和常微分方程的耦合方程组则能准确描述这些疾病的传播规律。为控制疾病的流行，对易感人群在短期内接种疫苗或周期性捕杀传染疾病的害虫，这种现象的描述需要带脉冲的分布参数系统。从控制论的观点来看，对易感人群的脉冲免疫比例或对害虫的脉冲捕杀比例及脉冲周期都可以作为控制变量，这两个变量出现在系统的初始条件上，这就形成了有两个控制变量的分布参数系系统。在分布参数系统控制论中，这是很典型的一类系统。特别，当人群的总规模为常数时，这种系统是可修复系统。这类分布参数系统已得到传染病学家的认可，研究它具有理论和实际意义。应用分布参数系统理论，本文首次建立并讨论了三类模型：具脉冲免疫的用偏微分方程和常微分方程的耦合方程组描述的传染病模型；用偏微分方程和常微分方程的耦合方程组描述带媒介种群的传染病模型，媒介种群带有脉冲效应或不带脉冲效应；具脉冲免疫的用偏微分方程组描述的传染病模型。本文的创新点及主要结果可概括如下：应用分布参数系统理论，从甲肝和乙肝的发病特点出发，建立了具有脉冲免疫的甲肝和乙肝模型。为准确反映其发展规律，我们引入了传染年龄，并且假设康复率依赖染病年龄。我们讨论了模型解的存在唯一性，利用Floquet乘子理论研究无病周期解的全局渐近稳定性，用分支理论和Lyapunov-Schmidt小参数法讨论正周期解的存在性。建立了具有脉冲免疫的肺结核模型，用含有常微分方程和偏微分方程的方程组描述这个模型。根据肺结核的发展特点，在潜伏期内我们引入了感染年龄，用偏微分方程来描述疾病在潜伏期的发展过程。为进一步讨论无病周期解E*的稳定性，我们将系统在E*点线性化，证明线性化系统在零点是渐近稳定的，从而得到E*是局部稳定的。最后，我们证明E*是系统的一个全局吸引子，得到E*是全局渐近稳定的。结论表明E*的全局渐近稳定性条件依赖于脉冲免疫比例和脉冲周期。基于生理年龄在疾病传播中的作用及虫媒介传播疾病的特点，应用分布参数系统理论我们给出了具有生理年龄和免疫的媒介-人群传染病模型。讨论了模型非负解的存在唯一性。应用半群理论，正锥理论及算子理论讨论了模型稳态解的存在性。应用C0-半群的拟紧理论讨论了稳态解的稳定性，得到无病平衡态和地方病平衡态局部渐近稳定的阈值条件。讨论人群带有生理年龄但不考虑免疫效应，媒介种群的规模是变化的媒介-人群分布参数系统。我们采用脉冲喷洒杀虫剂的方案控制蚊子的规模，用脉冲微分方程描述疟疾经媒介在人群的传播过程。然后，对此模型进行了理论分析，得到系统古典解存在的条件。证明了无病周期解在一定条件下是局部渐近稳定的。脉冲免疫作用于一定年龄的易感人群，用带脉冲的偏微分方程组来描述这一模型，讨论系统非负解的存在唯一性，证明系统存在唯一无病周期解。文章的主要意义在于：为准确描述某些传染病的传播规律，建立具有脉冲效应的分布参数系统，并从理论上严格证明了这些系统解的存在唯一性，得到无病（周期）稳态局部（全局）渐近稳态的条件，即根除疾病的条件。这些讨论为研究或控制其它疾病提供理论基础。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 绪论
• 1.1 课题背景
• 1.2 目的和作用
• 1.3 基本模型和基本概念
• 1.4 国内外研究现状及分析
• 1.5 本文结构
• 1.6 本章小结
• 第2章 具有脉冲免疫和类年龄的SIV模型
• 2.1 引言
• 2.2 数学模型
• 2.3 系统解的存在唯一性
• 2.4 系统无病周期解的稳定性分析
• 2.5 系统正周期解的存在性
• 2.6 本章小结
• 第3章 具有脉冲免疫肺结核模型的稳定性分析
• 3.1 引言
• 3.2 数学模型
• 3.3 系统的稳定性分析
• 3.4 本章小结
• 第4章 耦合SIR模型
• 4.1 引言
• 4.2 数学模型
• 4.3 系统解的存在性
• 4.4 系统稳态解的存在性
• 4.5 系统稳态解的稳定性
• 4.6 讨论
• 4.7 本章小结
• 第5章 具有脉冲效应人群-媒介SIS模型的稳定性讨论
• 5.1 引言
• 5.2 数学模型
• 5.3 系统稳态解的稳定性
• 5.4 讨论
• 5.5 本章小结
• 第6章 脉冲免疫作用于某一年龄群体的SIV模型
• 6.1 引言
• 6.2 数学模型
• 6.3 系统非负解的存在唯一性
• 6.4 系统无病周期解的存在性
• 6.5 本章小结
• 结论
• 参考文献
• 攻读博士学位期间所发表的学术论文
• 致谢