整体函数域若干算术问题的研究

论文摘要

具有有限常数域的代数函数域K被称为整体函数域.存在t∈K,使得K/Fq（t）为有限可分扩张,其中Fq为q元有限域, k = Fq（t）是Fq上的有理函数域.设OK为多项式环A = Fq[t]在K中的整闭包, UK为OK的单位群.本文得到如下结果.（一）我们完全确定Pell方程x2 ? dy2 = 1（d∈OK {0}）在OK中的解构成的Abel群的群结构.（二）我们应用A上的Pell方程这一初等方法重新证明一个已知的结果:实二次函数域K = k（√D）理想类数为1时, D只能为P或QR,其中P,Q,R∈A首一不可约且Q,R次数为奇数.（三）我们用组合的方法得到了关于A上d次剩余符号值的分布的两个结果.特别得到A上每一非空有限集都是对A中无穷多个不可约多项式d次剩余的集合.（四）设K是k的有限次Galois几何扩张.对于K的任一素除子v, Kv为v处的局部域,Uv为v处的局部单位群.我们运用C?ebotarev密度定理给出了存在k的一个有限素除子P使得自然映射UK/UKd→v|P Uv/Uvd是单射的充分必要条件.（五）我们在一般的Dedekind环OE中定义了Carmichael理想的概念并证明广义的Kolselt准则.设E是OE的分式域, L/E为Galois扩张.我们给出了OE中的理想在L中生成Carmichael理想的充分必要条件.当E为函数域时,此结果比现有的E为数域的结果好很多.（六）我们对于任一Abel函数域L给出Weil高度仅依赖于L导子的下界.（七）我们对形如f1 +···+ fn的多项式的单重不可约因子的次数和及不同不可约因子的次数和的下界分别作出新的估计,其中fi（1≤i≤n）为系数在C中的两两互素的不可约多项式.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 历史回顾与本文结果概述
• 1.1 历史回顾
• 1.2 本文结果概述
• 第2章 整体函数域上的Pell方程
• 2.1 引言
• 2.2 预备引理
• 2.3 主定理的证明
• q[t]上的Pell方程与实二次函数域的理想类数'>第3章 F_q[t]上的Pell方程与实二次函数域的理想类数
• 3.1 引言
• 3.2 预备引理
• 3.3 主定理的证明
• q[t]中的d次剩余符号'>第4章 F_q[t]中的d次剩余符号
• 4.1 引言
• 4.2 d次剩余
• 4.3 d次非剩余
• 第5章 函数域的整体单位和局部单位
• 5.1 引言
• 5.2 预备引理
• 5.3 主定理的证明
• 5.4 二次函数域情形
• 5.5 分圆函数域情形
• 第6章 整体函数域中的Carmichael理想
• 6.1 引言
• 6.2 Dedekind环中的Carmichael理想
• 6.3 整体函数域中的Carmichael理想
• 第7章 Abel 函数域中Weil 高度的下界
• 7.1 引言
• 7.2 主定理的证明
• 第8章 多元多项式不可约因子次数和的下界估计
• 8.1 引言
• 8.2 主定理和它的证明
• 8.3 一个应用
• 第9章 结论
• 参考文献
• 致谢
• 个人简历、在学期间发表的学术论文与研究成果