论文摘要
除环上矩阵理论属非交换代数，正如著名代数学家C.Ringel在1999年的《世纪之交的代数》的报告中所指出的：它是21世纪代数研究中极具挑战性的方向。因除环的非交换性，一般除环上的矩阵已不再具有通常的若当标准形，因此矩阵分块，分解手段对我们的讨论显得尤为重要。近几年卜长江和曹重光等对于除环上两个n阶矩阵A和B，矩阵AB与BA相似的问题得到了一些充分条件。本文拟讨论对于除环上n阶阵A及B，AB与BA相似的充分必要条件。在这篇文章中，我们将给出关于秩的条件解决这个问题，同时还给出用秩表示的一些充分条件，并指出一些在矩阵相似和广义逆方面的应用。本文在介绍了复数域、除环上矩阵的相关基础知识、主要成果及我们所研究问题的发展背景之后，应用除环上矩阵的等价标准形、核心幂零分解和幂零阵的若当标准形理论，证明了本文的主要结论。本文的主要工作总结如下：1．应用除环上幂零阵的若当标准形理论刻画了除环上两个n阶幂零阵相似的关于秩的充分必要条件；利用核心幂零分解理论得到了除环上矩阵Am×n及Bn×m的一种相关分解形式及AB与BA均相似于对角块阵这个结论，并利用这些结果给出了除环上两个n阶方阵AB与BA相似的关于秩的充分必要条件，并给出以上结果的相关推论。2．给出除环上某些特殊块阵的相似的充分条件，并具体给出了对于除环上n阶阵A和B，AB与BA的群逆都存在的充分必要条件，并推广了Cao等人“在两个矩阵乘积群逆的逆序法则”文章中一个结论。