概率方法在组合恒等式证明中的应用

论文摘要

本论文的主要内容是结合组合数的概率表示以及相应的概率方法重新证明了一些组合恒等式,并且得到了一些新的结果,主要包括两个方面。第一,寻找新的关于组合数的恒等式。首先寻找一个恰当的基础恒等式,然后把基础恒等式中的变量换成随机变量或者随机变量的组合,通过整理就可以得到一个关于随机变量的全新的恒等式,同时两边取期望,利用组合数概率表达形式进行还原,这样就可以得到一个由某个组合数或某些组合数构成的恒等式.在本论文中运用上边提到的这种方法,得到了关于第一类、第二类Stirling数,Bell数bn ,调和数H n,Fibonacci数,错排数d ( n ),Euler数,Bernoulli数的新的恒等式,另外若把基础恒等式中的参数换成不同的随机变量,则会得到不同的恒等式。第二,证明关于Euler多项式的恒等式。首先利用Euler变量的概率表达形式重新证明了其具有的几个性质,在其证明中体现了概率方法在组合证明中的简洁性及有效性.其次,利用Euler数构造了一个复发生函数,然后把此发生函数看成随机变量i1X = L? 2的特征函数,再利用独立随机变量的特征函数的乘积与其乘积的特征函数相等的性质,得到一个由Euler多项式En (t )表示的t n,再由Euler多项式En (t )的概率表达式得到一个由t n表示的Euler多项式En (t ),从而得到了一个关于Euler多项式的反演公式。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 1 引言
• 1.1 概率方法引进组合数学的发展过程
• 1.2 本文的主要工作
• 2 预备知识
• 2.1 相关的概率知识
• 2.1.1 常见的概率分布、密度函数
• 2.1.2 随机变量的特征函数的定义
• 2.2 组合变量的概率表示
• 3 一些关于组合数的恒等式
• 3.1 组合恒等式的相关介绍
• 3.2 一些新的组合恒等式
• 4 关于Euler 多项式的恒等式
• 4.1 Euler 多项式
• 4.2 有关 Euler 多项式反演公式的概率证明
• 5 结论
• 参考文献
• 致谢
• 个人简历
• 攻读硕士期间完成的学术论文