论文摘要
本文主要研究一类特殊的热方程，前向-后向热方程的数值方法，包括差分方程的构造，误差估计，数值求解等问题，研究分别对一维问题和二维问题进行展开。差分方法是解偏微分方程定解问题的常用近似方法之一。文献[22]给出了一维前向-后向热方程的一种差分格式，即在两个子区域分别应用前向和后向差分格式，而在交界线应用二阶中心差分格式，本文对此差分格式进行了改进，在交界线上应用粗网格的中心差分格式。令u为问题（2．1）的准确解，zij为差分方程组（2．23）-（2．25）的解，定义误差Eij=u（ih，jτ）-zij，则有：定理2．2令（?）是Ω的闭包。如果（?）在（?）上有界，且有界常数为C0，则其中，（?）。因为本文构造的差分格式对前向-后向热方程而言是隐格式，因此我们用基于区域分解的迭代方法进行数值求解。定理2．3令φj,k（1≤j≤N-1，k=0，1，…）是迭代方程组（2．37）-（2．39）的解，z0j（1≤j≤N-1）是差分方程组（2．23）-（2．25）的解，则有即当k→∞时，φj，k收敛于z0j，且收敛率为1-H。这个结果比文[22]中的结果要好。同时，我们对此方法在二维情况下进行了推广，得到：定理3．1假设（?）在Ω的闭包上有界，则||E||N≤2C0（τ+h2+H3），（3）其中，C0为有界常数，定理3．2对1≤j≤M-1，1≤k≤N-1，p=0，1，…，有显格式容易实现，但稳定性条件限制了时间步长的取值，而隐格式虽然无条件稳定，但需要在每个时间步求解代数方程组，Saulyev格式则很好地弥补了这些缺陷，它是无条件稳定的，而且对一般的热方程它是显式的。本文详细讨论了将Saulyev格式应用于前向-后向热方程的数值求解，并在此基础上，构造了前向-后向热方程的分组格式。但是对于前向-后向热方程，这些格式都是隐式的，所以本文仍考虑用迭代法求解，并且证明：定理2．4当α∈（0，1）时，给定的区域分解算法收敛。