论文摘要
框架理论是继小波分析后发展起来的一个新的研究方向.1952年，Duffin和Schaeffer在研究非调和Fourier级数时首先提出了Hilbert空间中框架的概念，框架理论无论在理论领域还是在应用领域都有广泛的应用.经过一段时间的发展，一些学者又陆续给出了几种更一般的框架概念，如伪框架、斜框架、外框架、子空间框架、g-框架等.其中g-框架的概念由孙文昌教授于2006年首次提出.G-框架作为框架概念的推广，与框架的性质有许多不同之处，为了找出这些不同之处，国内外许多学者对它的性质展开了大量的研究.其中g-框架的稳定性研究是g-框架理论中非常重要的一部内容，它对于进一步了解g-框架的构造和性质有非常大的帮助.本文第一部分将算子理论应用于g-框架的研究.首先结合算子扰动和矩阵扰动的思想，考虑用算子矩阵对g-框架进行扰动，所谓算子矩阵就是矩阵上的每个元素都是有界线性算子.当算子矩阵的元素取常数值时，既为一般矩阵对框架和g-框架的扰动形式.特别的，令算子矩阵非对角线上的元素为零，得到g-框架的另一种扰动形式，算子序列的扰动.之后我们证明了对于g-Riesz框架和g-框架序列也有类似的结论成立.进一步我们证明了两个g-框架之间一定存在一个算子矩阵.第二部分，对g-Riesz基、g-Besselian框架、拟g-Riesz基和g-Riesz框架与它们所对应的子空间的框架之间的关系进行研究.由所得的结果可导出已被讨论过的g-Besselian框架和拟g-Riesz基与其对应的子空间的标准正交基之间的关系.接着对这几种g-框架在算子序列下的稳定性进行了讨论.
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