平面上散乱数据的分片代数曲线拟合

论文摘要

基于大规模散乱数据的插值或拟合方法,在很多领域都有重要的应用。所以长期以来,有很多学者从事这方面的研究,并且发展和形成了许多方法。本文产用分片代数曲线来拟合散乱数据点,采用最小二乘法来计算其最佳逼近。自王仁宏在1975年提出了多元样条的理论,采用经典的代数几何中的方法发展了多元样条理论。并给出了一些基本空间的基函数组。此篇论文采用S31(Δmn1)样条空间的分片代数曲线来做散乱数据的拟合,我们由其空间的一组基函数可以确定样条函数函数。运用最小二乘法建立一目标函数。同时为了更好的拟合效果,在目标函数中可以加入一些其它项,例如切向,法向和能量。同时也可以对一些点进行一些限制,可以要求某些点严格经过此分片代数曲线。而一些点在其上部或下部。这样,问题就变成求解一非线性约束优化的最优化问题。同时我们知道多元样条空间的结构还依赖于其剖分的性质,因此为了达到更好的拟合效果,我们可以逐渐的加细剖分。因为分片代数曲线是一种隐式曲线,因此其具有隐式曲线的所有优点,计算简单。同时又可以通过低次的曲线即可达到较好的拟合效果。本文运用了大量实例来验证此算法,都收到了比较好的效果。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 引言
• 1 曲线拟合的相关介绍
• 1.1 曲线的隐式形式和参数形式
• 1.2 曲线拟合的方法介绍
• 1.3 对于点云的处理
• 1.3.1 K-近邻搜索
• 1.3.2 建立邻域点集
• 1.3.3 计算局部回归曲线
• 1.4 最小二乘法介绍
• 1.4.1 最小二乘法
• 1.4.2 线性最小二乘法
• 1.4.3 非线性最小二乘法
• 2 分片代数曲线的研究和介绍
• 2.1 多元样条函数空间介绍
• 2.1.1 光滑余因子协调法
• 2.1.2 B网方法
• 2.1.3 多元B样条方法
• 3¹(Δ_mn^（1）)'>2.2 样条函数空间S₃¹(Δ_mn^（1）)
• 2.2.1 1-型三角剖分和2-型三角剖分
• 3¹(Δ_mn^（1）)的基函数'>2.2.2 S₃¹(Δ_mn^（1）)的基函数
• 2.3 分片代数曲线曲面
• 2.3.1 代数曲线
• 2.3.2 分片代数曲线
• 3 分片代数曲线的散乱数据点的拟合
• 3.1 基本理论
• 3.2 约束优化
• 3.3 优化目标函数
• 3.3.1 法向和切向量
• 3.3.2 能量项
• 3.4 平面上散乱数据的分片代数曲线逼近
• 3.5 数值实验
• 结论
• 参考文献
• 攻读硕士期间发表的论文
• 致谢