论文摘要
金融数学是一门新兴学科，在国际金融界和应用数学界受到高度重视。未定权益的定价是金融数学研究的核心问题之一，它涉及现代金融学的资产定价理论、投资组合理论以及现代数学中的随机分析、随机控制、优化理论等学科。要对风险进行有效的管理，就必须对金融衍生证券进行正确的估价，如何确定金融衍生证券的公平价格是它们合理存在与健康发展的关键。由于金融市场发展的需要，不断有新型期权出现，期权定价也越趋复杂，本学位论文主要致力于金融学中若干期权定价问题的研究，运用鞅论、随机分析等数学工具建立跳-扩散过程的期权定价数学模型，推导出了股票再装期权、幂型支付的期权及交换期权的跳-扩散定价。再装期权是一种变异的欧式看涨期权，它允许期权的持有者在到期日之前的特定日期执行欧式看涨期权，且保证期权在执行时是处于实值状态，然后获得一个到期日不变、执行价格为执行日股票价格的新的欧式看涨期权，但是股票数量变为被执行期权的执行价格与执行日股票价格之比。本文在假设本节在假设股票价格的跳过程为Poisson过程，在无风险利率r（t），股票波动率σ（t），股票预期增长率μ（t）为时间的确定函数的条件下，给出了股票价格服从非齐次Poisson跳—扩散再装期权的定价公式。幂型支付的期权也是一种新型期权，幂型支付的看涨期权的到期支付函数为[h（S（T））-K]+，其中h（x）=xα（α＞0，为常数），K为执行价格，T为到期日。假设股票价格服从跳扩散过程，并且参数为时间函数的条件下，利用等价鞅测度变换方法得到了幂型支付的欧式期权的定价公式。并且将其推广到有N个独立跳跃源的定价模型中。本文还考虑了资产权重不同的欧式交换期权的定价问题，即期权多头在到期日有以b份标的资产1换a份标的资产2的权利。假设两种股票的价格过程都服从跳-扩散过程，并且股票跳过程为非时齐Poisson过程，在股票预期收益率和波动率均为时间函数的情况下，利用公平保费原则和价格过程的实际概率测度得到了交换期权的定价公式。