两指标广义布朗单的截口常返性

论文摘要

众所周知，d维布朗运动当且仅当d≤2时是区域常返的；d维迷向α阶稳定Lévy过程当且仅当d≤α时也是区域常返的，其中α∈（0，2]。1984年，M．Pukushima与N．K（?）no分别解决了d≠4和以=4情形的两指标d维布朗单W={W（s，t），s，t≥0）的截口常返性问题。2004年，R．C．Dalang和D．Khoshnevisan进一步讨论了更广的一类过程—α阶迷向稳定Lévy单的截口常返性，得到了如下的结果：设X={X（s，t），s，t≥0}为一两指标d维迷向α阶稳定Lévy单，α∈(0，2]，Ld，α：=（?）{s＞0，（?）t≥n，使得|x（s，t）|＜ε)，则（Ⅰ）当d＞2α时，Ld,α=φ，a．s．；（Ⅱ）当d∈(α，2α]时，Ld，α在R+中处处稠密，且dimHLd，α=2-d/α，a．s．其中dimH表示Hausdorff维数，该结论不仅把两指标d维布朗单的截口常返性结果推广到α阶迷向稳定Lévy单，而且把具有常返性的截口的“数量”用Hausdorff维数加以刻画，使这方面的研究更加深入。两指标d维广义布朗单作为两指标d维布朗单的一种发展形式，其截口常返性又是如何呢?本文试图对该问题展开研究，设（?）={（?）（s，t）=（（?）1（s，t），（?）2（s，t），…，（?）d（s，t）），s，t≥0]．是两指标d维广义布朗单，其中（?）i（s，t）所对应的方差测度为Fi（1≤i≤d）关于Lebegue测度绝对连续，即（?）i（s，t）～N（0，Fi（s，t）），Fi（s，t）=integral from n=0 to s integral from n=0 to t （fi{（u，u））dvdu，而fi（u，u）为R+2上的非负可测函数．由于广义布朗单所对应的方差测度是Lebegue-Stieltjes测度，因此其过程未必有scaling性质，从而给截口常返性问题的研究增加了不少困难。本文给出在较广泛条件下广义布朗单的截口常返性结果，具体如下：记Ld:=（?）（?）{s＞0, （?）t≥n,使得|（?）（s,t）|＜ε}，（?）固定b＞a＞0, c＞0, s＞0，记Tc（s）=inf{t:F（s,t）=c},Γc:={（s,t）∈R+2:a≤s≤b,F（s,t）=c}. （Ⅰ）当d＞4时且（?）满足：条件（C1）设（?）（s，t）～N(0，F（s，t）Id×d，其中Id×d为d阶单位矩阵，F（s，t）=integral from n=0 to s integral from n=0 to t （f（u，u））dvdu，而．f（v，v）为R+2上的非负可测函数，且存在仅与a，b有关的有限正数C（a，b），使得对于任意c＞0，由等高线Γc，s=a，s=b和s-轴所围成的部分的F-测度：integral from n=a to b integral from n=0 to (Tc（s） integral from（s t ）dtds≤C（a，b）c（log c）2．则Ld=φ，a．s．它说明了：当d＞4时，P{(?s＞0，使得过程t→（?）（s，t）是区域常返的}=0；即a．s．地对所有s＞0，一致地，过程t→（?）（s，t）不是区域常返的。（Ⅱ）当2＜d≤4时且（?）满足：条件（C2）设（?）i（s，t）所对应的方差测度为Fi（1≤i≤d）关于Lebegue测度绝对连续，若存在有限正常数c1，c2，使得对于任意矩形A（?）（0，+∞）2，成立：c1|A|≤Fi（A）≤c2|A|，1≤i≤d，其中|A|表示集合A的Lebegue测度，Fi（A）表示集合A的Fi测度。则a．s．地，Ld在R+中处处稠密，且dimHLd=2-d/2，a．s．这就说明了：当2＜d≤4时，P{（?）s＞0，使得过程t→（?）（s，t）是区域常返的}=1，即a．s．地对所有s＞0，一致地，过程t→（?）（s，t）是区域常返的。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 中文文摘
• §1 前言
• §2 符号与预备知识
• §3 d＞4情形广义布朗单的截口常返性
• §4 2＜d≤4情形广义布朗单的截口常返性
• §5 d=4情形广义布朗单的截口常返性集的稠密性
• 结束语
• 参考文献
• 致谢
• 个人简历