论文摘要
零和理论是组合数论的一个重要分支,其在图论,Ramsey理论,几何以及数论等领域都有重要的应用,零和理论的主要研究对象是零和序列,也就是在加法有限Abel群中,元素之和为零元的序列。 本文主要从直接零和问题和反零和问题两个不同的研究角度出发,对于零和问题中的几个重要组合常数以及一些极值序列的结构进行研究,并得到一系列结果。 第二章和第三章从直接零和问题的角度,讨论了组合常数r（G）,D（G）,s（G）与η（G）以及它们之间的关系。其中,在第二章中,作者将对于有限Abel群G成立的关系式r（G）=|G|+D（G）-1推广到一类非交换群上。在第三章中,对于一类特殊的有限Abel p-群G,得出了s（G）与η（G）的值,并就这类群验证了关系猜想式s（G）=η（G）+exp（G）-1。 第四章解决的是两个反零和问题。作者给出了正规序列和不可扩展序列的定义,并对这两类序列的结构进行了刻画。对于有限循环群,某些初等p-群以及当n具有性质B时的群G=Gn（?）Cn中的正规序列S,完全刻画了S的结构。另外将研究一般的有限Abel群G中的极值序列S,当其满足|S|=|G|+D（G）-2且0（?）∑(|G|（S）时的结构特点的问题转化为研究正规序列的问题。同时对于有限循环群,秩为2的群以及一般的有限Abel群中的不可扩展序列的结构,也得到一些性质。 第五章主要处理了有限循环群上的两个零和问题,即最小零和序列的等价类和加权和问题。作者就一类特殊的等价类序列给出了序列长度的一个上界,另外对于A.Bialostocki在CANT2005会议上提出的关于序列的加权和的猜想,当群为素数阶循环群,且两个序列中元素出现的最高次数比较小时,给出了猜想的证明。
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