关于算子的广义逆和量子效应的相关问题研究

论文摘要

算子论是泛函分析中一个极其重要的研究领域,算子的广义逆及效应代数是近年来算子论中比较活跃的研究课题.对它们的研究涉及到基础数学与应用数学的许多分支,诸如代数学、几何理论、算子扰动理论、矩阵理论、逼近论、优化理论与量子物理等,通过对它们的研究可使算子结构的内在关系变得更加清晰,同时也使得有关算子论课题的研究具有更坚实的理论基础.本文研究内容涉及无穷维Hilbert空间中算子的广义Bott-Duffin逆、下三角算子的广义逆以及有限维Hilbert空间上量子的序列积三个方面的内容.全文共分三章,主要内容如下:第一章根据空间分解理论及算子矩阵分块的技巧,给出了Hilbert空间中有界线性算子A关于闭子空间M的广义Bott-Duffin逆的矩阵表示形式,并把有限维Hilbert空间H上的算子A关于的两个闭的补子空间M,N的广义Bott-Duffin逆的若干性质推广到了无限维Hilbert空间上,给出了全新的证明.这种从算子几何结构出发的证明不仅使证明过程更加清晰,还能使我们更加清楚的获得算子广义Bott-Duffin逆的几何结构.第二章我们主要研究了2×2下三角算子矩阵:若设H,K是复可分希尔伯特空间,B（H）,B（K）,B（H,K）分别表示H上的、K上的和从H到K上的有界线性算子构成的Banach空间.如果A∈B（H）,B∈B（K）给定,设C∈B（H.K）.我们用MC表示H（?）K上的2×2下三角算子矩阵,其具体形式如下: Mc=（?）在本章中我们重点回答了下述两个问题:（1）2×2下三角算子矩阵Mc的广义逆在什么条件下存在?（2）若Mc的广义逆存在,它的广义逆的矩阵表示形式是怎样的?第三章应用算子分块的技巧给出了下面两个结论的更加初等的证明:我们用ε（H）表示希尔伯特空间H上的效应代数,设A.B∈ε（H）且假设dim H<∞.那么（1）AoB+A’oB=B当且仅当AB=BA;（2）AoB+A’oB=B’当且仅当B=（?）I.其中A’=I-A,B’=I-B.这里所使用的证明方法更容易让读者接受和掌握.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 主要符号表
• 前言
• 第1章 算子广义逆的表示和性质
• 1.1 预备知识
• 1.2 广义Bott-Duffin逆的矩阵表示形式
• 1.3 广义Bott-Duffin逆的性质
• 第2章 下三角算子矩阵的广义逆
• 2.1 预备知识
• 2.2 下三角算子矩阵广义逆存在的条件
• 2.3 下三角算子广义逆的矩阵表示形式
• 第3章Hilbert空间上的量子效应
• 3.1 量子效应问题简介
• 3.2 关于量子效应的两个定理的初等证明
• 总结
• 参考文献
• 攻读硕士学位期间的研究成果
• 致谢