包含一个非分离不可压缩环面的3-流形的亏格

论文摘要

上世纪的数学是以流形为主要的研究对象,流形就是把欧氏空间一片一片粘起来.有一点奇怪的是流形的研究是从高维到低维,这和我们对空间的直觉相反.三维流形的研究开始于上世纪70年代,也是当今拓扑学的一个主流领域.三维流形的研究有其独特之处,主要是体现在问题的处理手段上,用的是分片线性的处理手法,也就是所谓的切割,这和传统的数学不大一样.这也是我们论文的主要研究手段.三维拓扑在上个世纪取得了重大进展,一批重要的问题获得了解决,最引人注目的莫过于庞加莱猜想.三维流形上的一些特殊结构被发现,比较重要的有弱可约, Heegaard距离.这些特殊结构是本文处理问题的主要背景.研究流形沿边界粘起来后得到的流形和原来流形Heegaard亏格的关系是当今三维拓扑中一个热门的话题.设Mi是一个紧致、连通、可定向的流形,Fi是Mi的一个不可压缩的边界分支,满足g（Fi）≥1, i = 1,2,并且F1 （?） F2.设φ: F1→F2是一个同胚, M = M1 （?） M2.设Vi si Wi是Mi的Heegaard分解,那么V1∪S1 W1和V2∪S2W2诱导了M上一个亏格为g（S1） + g（S2） （?） g（F）自然的Heegaard分解V∪S W,称它为V1∪S1 W1和V2∪S2 W2沿着F1和F2粘起来后的融合.很显然, g（M）≤g（M1） + g（M2） - g（F）.以往的很多工作给出了等式成立的各种条件,譬如Lackenby, Schultens的工作.他们工作的一个共同点是他们考虑的流形M1, M2是不同的.我们将考虑流形沿着自身两个同胚的边界分支粘起来后得到流形和原来流形的Heegaard分解亏格的关系.如果M是从一个3-流形M沿着两个同胚的边界分支（在本文中考虑的是环面的情形）粘起来所得的流形,我们将证明对原来流形施加某些限制以后,等式g（M ） = g（M;T1T2） + 1成立.其中, g（M;T1T2）表示满足T1,T2在同一压缩体负边界上的所有M的Heegaard分解的亏格最小值.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 序论
• 1.1 课题背景
• 1.1.1 三维流形的发展史回顾
• 1.1.2 三维流形的研究现状
• 1.1.3 有关Heegaard分解的进一步说明
• 1.2 课题的来源与意义
• 1.3 论文的主要工作和文章结构
• 第2章 三维流形的预备知识
• 2.1 3-流形的基本理论
• 2.2 Heegaard 分解的一些深入的结果
• 2.3 本章小结
• 第3章 3-流形的融合的一些性质
• 3.1 Heegaard 分解中的一些基本概念
• 3.2 几个主要引理及其说明
• 3.3 主要定理及其证明
• 3.4 本章小结
• 结论
• 参考文献
• 致谢