祁锦鹏
新疆且末县邦泰矿业投资有限公司新疆且末县841900
摘要：提出一种简单的模型、适用于任意旋转角的三维空间直角坐标转换模型，并用最小二乘和整体最小二乘回归进行了解算，最后通过实例验证了模型的准确性且分析了采用最小二乘与整体最小二乘回归求解的差异。
关键词：整体最小二乘回归；坐标转换；任意旋转角；空间直角坐标
测绘生产中使用到的坐标系统很多，在测绘的数据处理中经常涉及到三维空间直角坐标转换的问题。关于三维空间直角坐标转换方法的研究有很多，陈义[1]、曾文宪[2]、罗长林[3]等都研究了三维大角度空间直角坐标转换，陆钰[4]提出了总体最小二乘方法在三维小角度空间直角坐标转换中应用。针对目前已经做过的研究，考虑到整体最小二乘理论的优越性、小角度模型的不通用性，提出了一种更为简便的三维任意旋转角度空间直角坐标转换线性模型，并且给出了该模型的最小二乘和整体最小二乘回归解法。最后通过模拟算例验证了模型及求解方法的准确、合理，并采用带有随机误差的公共点数据分析比较了运用最小二乘法和整体最小二乘回归求解带来的差异。
1.基于任意旋转角模型求解的研究
1.1任意旋转角模型的构建
以空间右手直角坐标系为例，三维坐标转换模型为：
（1）
其中为目的坐标系统下的坐标，为原始坐标系统下的坐标，R为坐标旋转矩阵，为平移量，m为尺度因子。
由于布尔莎（Bursa）模型在求解的过程中采用了麦克劳林级数展开做了相关的近似化处理，所以模型只适合满足近似化的条件的情况即旋转角为小角度的情况，为了使得能够解决任意旋转角的问题，必须不对进行近似化处理。矩阵可写为
令，（1）式经过变化可以到（2）式：
=（2）
其中：
2.算例分析
先通过几组模拟的无误差的数据验证任意角度模型和所给出的两种解算方法是否正确、合理，再通过给公共点加入随机误差后的数据进行坐标转换来比较两种解算方法给求解结果带来的差异。
给出足够数量的点在原始坐标系和目的坐标系中的坐标真值，取其中一部分足够的点作为公共点，剩余的一部分点作为待求点，分别用两种方法来求解出转换参数并用于待求点的坐标转换，通过比较求得的待定点转换后在目的坐标系中的坐标值与真值坐标来判断模型及平差方法是否正确、合理。
真值数据如表1中所示，定义了10个原始坐标系中的坐标值，给出7个转换参数的初值，其中，，，，，按此转换参数求得目的坐标系中的坐标，将此值作为真值，如表1所示。
表1真值数据/m
分别采用上述3种不同的方案所给的7参数初值再次构造真值数据。同样的再取前五个点作为公共点，后五个点作为待求点，分别用最小二乘和整体最小二乘回归法来进行求解，将求得的结果保留小数点后4位。
结果显示上述3种方案中，运用最小二乘法和整体最小二乘回归法求解的结果都与真值数据完全一样。
通过上面的算例可看出在数据中不含误差的情况，最小二乘和整体最小二乘回归所求的结果与真值数据都是一样的，同时也验证了本文所给出的模型不仅可以解决大旋转角的问题，也可以解决传统的小角度模型问题，表明了给出的模型和解算方法是完全正确和合理的，且达到了很高的计算精度，完全满足目前的高精度测量数据处理工作。
3.结束语
该模型适用于任意旋转角的三维空间直角坐标转换解算，且无需预先知道旋转角度的近似值，假若有4个或4个以上的点，采用本文提供的方法解算非常简单，求解无需迭代且求得的结果具有很高的精度。由于由整体最小二乘回归建立的求解模型对所有变量中的误差都进行了最小化的约束，与认为原始坐标系公共点坐标完全准确的最小二乘方法相比，整体最小二乘建立起了一个当原始坐标系和目的坐标系均含有误差时更加合理的模型。虽然整体最小二乘建立的模型更加的合理，但是本文所提供的算例显示在坐标转换中运用最小二乘法可以求解出满足目前大部分情况需要的结果且具有很高的精度。对于运用整体最小二乘回归求解只有3个公共点时的坐标转换参数在本文中还没有给出方法，该方法归结于求解附有约束条件的整体最小二乘估计问题，目前在国内还没有人做过相关的研究，该问题的解决还须进一步的研究。
参考文献：
[1]陈义，沈云中，刘大杰.适用于大旋转角的三维基准转换的一种简便模型[J].武汉大学学报·信息科学版，2004，29（12）：1101-1105
[2]曾文宪，陶本藻.三维坐标转换的非线性模型[J].武汉大学学报·信息科学版，2003，28（5）：0566-0568
[3]罗长林，张正禄，邓勇，梅文胜，陈本荣.基于改进的高斯一牛顿法的非线性三维直角坐标转换方法研究[J].大地测量与地球动力学，2007，27（1）：0050-0054
[4]陆珏，陈义，郑波.总体最小二乘方法在三维坐标转换中的应用[J].大地测量与地球动力学，2008，28（5）：0077-0081
[5]邱卫宁，陶本藻，姚宜斌等.测量数据处理理论与方法[M].武汉：武汉大学出版社，2008
作者简介：
祁锦鹏，男，1986年生，身份证号：6224261XXXX0263713，现就职于新疆且末县邦泰矿业投资有限公司，主要从事地矿工作。