带洞的圈设计和（5r，8s）-圈系

论文摘要

组合数学是研究离散对象在给定约束条件下如何进行安排（或配置）的数学分支.它的渊源可以追溯到公元前2200年我国的大禹治水时代,但该学科进展一直很缓慢直到二十世纪40年代电子计算机诞生后,它开始以前所未有的速度发展和壮大起来,并且在计算机网络、数字通讯、实验设计及现代企业管理等多方面的应用越来越广泛.现代科学技术的进步和计算机以及信息等相关学科的快速发展,也使得离散数学中的组合设计、图论、网络理论以及编码设计等领域的研究内容越来越丰富越来越充实起来.同时,提出了许多具有重要理论意义和应用前景的新问题.例如本文主要研究的著名的Alspach猜想.设Kv为v点完全图,并且当v为偶数时, Kv - F为v点完全图减去一个1-因子.圈长分别为m1,m2,...,mt长的圈C1,C2,...,Ct能分解Kv（或Kv -F）的必要条件为:（1）3 mi v（1 i t）;（2）v≡1（mod 2）,（或v≡0（mod 2））;（3）Alspach提出猜想:这些必要条件是充分条件.我们将介绍一种方法,在一定条件下可以用来证明这些必要条件是充分的.本文解决了当mi∈{5,8},i = 1,2,... t时, Alspach猜想成立.当把Kv（或Kv - F）分解成都是等长的m-长圈时,我们通常把这些圈叫做Kv（或Kv - F）的m-圈系.虽然Kv（或Kv - F）的m-圈系存在问题已经被完全解决了,但是KvKu（或（Kv - F1） （Ku - F2））的m-长圈系存在问题结果不是很多.特别是当u,v都为偶数时,只有如下两种情况得到了解决. D.Bryant解决了m = 5时的这种情况, Adams,Bryant和Khodkar解决了m = 3时的这种情况.本文则解决了当u,v都为偶数,m≡0（mod 2）且4≤m≤14时的情况.这篇文章的主要工作如下:第一章,介绍本文用到的一些概念,记号和主要定理.第二章,本文首先从带洞图G的m-圈系存在问题的必要条件出发,运用数论的思想分析出了最初始带洞图G的圈系情况,然后巧妙的把带洞图G分拆成一些已知图的并,或是运用集合论的思想和差集的方法具体构造出最初始带洞图G的圈系来.最后再利用定理2.2完全解决了当m为偶数,且m∈{4,6,8,10,12,14}时,（Kv - F1） （Ku ? F2）的m-圈系存在问题.第三章,我们已经知道了当m≤14时,KvKu的m-圈系存在问题的结果,利用以上的结果并运用图论的知识把图G巧妙的分拆成一些子图的并,然后利用已知图存在m-圈系的结果做了递归构造,构造出了一般的小阶数图G的（5r,8s）-圈系.利用已知Kv Ku的5-圈系存在问题的结果和定理1.2.2,并运用函数论的思想方法找到了一个界点,最后在构造出的小阶数图G的（5r,8s）-圈系的基础上,运用组合设计的理论和数学归纳法证明了当v为奇数,且mi∈{5,8},i = 1,2,... t时, Alspach猜想成立.第四章,本文利用在第二章得到的（Kv - F1） （Ku - F2）的8-圈系存在问题的结果和已知的（Kv - F1） （Ku ? F2）的5?圈系存在问题的结果,把图G巧妙的分拆成一些子图的并,并利用已知图存在m-圈系的结果做了递归构造,证明了一般的小阶数图G的（5r,8s）-圈系存在.最后利用上述结果,运用数学归纳法证明了当v为偶数,且mi∈{5,8},i = 1,2,... t时, Alspach猜想成立.

论文目录

• 中文摘要
• 英文摘要
• 引言
• 第一章 预备知识
• 1.1 一些概念和记号
• 1.2 预备定理
• u^v 的m- 圈系存在问题'>第二章 当u ≡v ≡0（mod 2） 时G_u^v 的m- 圈系存在问题
• 第三章 当v ≡1（mod 2） 时T（G） = S（|E（G）|）
• 第四章 当v ≡0（mod 2） 时T（G） = S（|E（G）|）
• 结论
• 参考文献
• 致谢