纳米梁及纳米类梁结构的静力学和动力学的非局部理论、模型及求解

论文摘要

近年来,因其在不同领域的巨大的应用潜力,纳米尺度的材料和结构已经吸引了越来越多研究者的兴趣。随着微纳米技术的迅速发展,纳米尺度的单元可以精确地制造,并且应用到一种称为纳机电系统的结构中。纳机电系统中的原子力显微镜等设备已广泛应用于化学、物理和生物等传感器中,由此带来了新的研究热点和兴趣,并且对传感器和混频器等提出了更高精度和更高频率的要求。这些纳米设备的行为在很大程度上取决于纳系统中纳米类梁结构的性能。因此,有必要系统地研究以掌握纳米类梁结构的力学特性。与宏观尺度的材料和结构相比,纳米结构展现出了一些不同的力学效应。同时,经典力学已经被证实无法直接应用于纳米结构中。比如,根据经典连续理论,不管外载荷多么地小,裂纹尖端的应力总是奇异的。然而,每种材料却都存在一个有限的断裂强度。事实上,原子模拟和相关实验都证明了裂纹尖端的应力是非奇异的。目前,主要有三种途径来研究纳米结构的力学行为,即实验研究、分子动力学模拟以及非经典的连续理论。考虑到器件结构及测量技术上的复杂性,纳米尺度下的精确实验比较难以实现和掌控。另一方面,分子动力学模拟考虑体系内每一个分子及分子间的力学和化学作用,对于计算机硬件的计算速度提出了很高的要求,即使对于一个包含有限数目原子的相对简单的体系,也需要较多的计算时间。因此对于纳米力学的研究,很多学者都把目光放到了新的连续力学理论上。基于非局部的弹性理论,本文主要研究了纳米梁和纳米类梁结构的静力学和动力学行为,包括横向、轴向和扭转力学性能。特别地,考虑到纳米尺度结构中比较常见的微传送带,它可以被模型化为轴向运动的纳米结构,因而本文也研究了轴向运动纳米类梁结构的动力学行为。非局部弹性理论建立在原子晶格动力学理论及声子散射实验观察的基础之上,认为连续体内一点的应力是所有点的应变的函数。这种变形体内的应力应变依赖关系在晶格动力学中被观察到,并且可以用来作为碳纳米管的连续体模型。非局部理论包含了原子间相互作用力的相关信息,并且将一种内特征尺度作为材料参数引入到了本构方程中。然而,目前存在两种非局部理论模型:传统非局部模型和等效非局部模型,其预言结果恰好相反,即刚度增强或者减弱。这两种理论模型与分子动力学模拟相比较,恰好处在了分子动力学结果的上、下两方。为了检验这两种不同的非局部模型,一种半连续模型被建立以预测具有纳米厚度的超薄梁的弯曲行为。超薄梁的厚度方向被离散成若干原子层,同时将弛豫效应引入到上、下表面各一层的原子层中。结果表明两种非局部模型都可能存在,这与弛豫系数大小有关。长程吸引力或者排斥力,或者说,表面原子层的晶格松弛或者张紧导致了两种不同的非局部模型。本文工作的主要目的在于发展一种新的非局部应力理论,用于探求简单边界支撑条件下受轴向载荷的纳米梁的力学特征的解析解。同时也考虑了轴向精确内力及在此情形下的纳米梁动力行为。此外,研究了受轴向变载荷的纳米梁的动力学及其稳定性,以及轴向运动纳米梁的动力学。类似地,基于变分原理,提出了一种新的等效非局部扭转模型,以此考察了纳米类梁结构(比如纳米杆)的静态扭转、扭转振动以及轴向振动等特性,同时详细地研究了轴向运动纳米杆的扭转动力学行为。本文同时考虑了解析解及数值解,等效非局部模型结果显示弯曲挠度随着非局部效应的增加而减小,振动固有频率(或结构刚度)随着非局部效应的增加而增加。对于以纳米类梁结构作为其主要组成部件的纳机电系统或者其它纳米尺度器件,本文研究结果可能会为其理论预测和设计工作提供一定的参考意义。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 致谢
• 插图
• 表格
• 第一章 绪论
• 1.1 研究背景
• 1.2 研究方法
• 1.3 目标和任务
• 1.4 本文贡献
• 1.5 本文结构
• 第二章 文献综述
• 2.1 引言
• 2.2 关于经典梁
• 2.3 关于纳米梁/纳米杆
• 2.4 关于碳纳米管/纳米板
• 2.5 关于半连续模型
• 第三章 传统非局部模型
• 3.1 引言
• 3.2 弯曲分析
• 3.2.1 问题定义及数学模型
• 3.2.2 模型的解及讨论
• 3.3 受轴向拉力纳米梁的自由振动
• 3.3.1 数学模型
• 3.3.2 各种边界条件下的数值算例及讨论
• 3.4 本章小结
• 第四章 一种新的等效非局部模型
• 4.1 引言
• 4.2 变分原理
• 4.2.1 非局部应变能
• 4.2.2 等效非局部弯矩及边界条件
• 4.3 基于等效非局部模型的挠度分析
• 4.3.1 控制方程和边界条件
• 4.3.2 解及其讨论
• 4.4 受预紧力纳米梁的自由振动
• 4.4.1 控制方程
• 4.4.2 数值算例
• 4.5 比较与讨论
• 4.6 简支纳米梁振动的一种解析解法
• 4.6.1 等效非局部控制方程
• 4.6.2 分析，结果及讨论
• 4.6.3 进一步的数值算例及讨论
• 4.7 本章小结
• 第五章 关于等效非局部模型的深入研究
• 5.1 引言
• 5.2 一种考虑精确轴向内力的改进模型
• 5.2.1 力学模型
• 5.2.2 问题的解及讨论
• 5.3 受轴向变力的纳米梁的稳定性
• 5.3.1 运动控制方程
• 5.3.2 多尺度方法
• 5.3.3 系统固有频率
• 5.3.4 稳定性分析
• 5.4 轴向运动纳米梁的动力学
• 5.4.1 高阶控制方程和边界条件
• 5.4.2 结果及讨论
• 5.5 本章小结
• 第六章 半连续模型
• 6.1 引言
• 6.2 半连续模型
• 6.3 分析与讨论
• 6.3.1 固支超薄梁
• 6.3.2 悬臂超薄梁
• 6.4 关于传统非局部模型和等效非局部模型的进一步讨论
• 6.5 本章小结
• 第七章 基于等效非局部模型的纳米圆杆力学分析
• 7.1 引言
• 7.2 新的等效非局部扭转模型
• 7.3 纳米圆杆的静态分析
• 7.3.1 自由端受集中扭矩的固定-自由纳米杆
• 7.3.2 受分布扭矩的两端固定纳米杆
• 7.4 纳米圆杆的扭转自由振动
• 7.4.1 两端固定纳米杆
• 7.4.2 两端自由纳米杆
• 7.4.3 固定-自由纳米杆
• 7.5 轴向运动纳米杆的动力学分析
• 7.6 纳米杆轴向自由振动
• 7.6.1 模型
• 7.6.2 固定-自由纳米杆
• 7.6.3 两端固定纳米杆
• 7.6.4 两端自由纳米杆
• 7.7 本章小结
• 第八章 全文总结及展望
• 8.1 全文总结
• 8.2 局限性和未来工作
• 参考文献
• 附录 Ⅰ 杆件扭转的经典解
• 附录 Ⅱ 攻读博士期间论文发表和奖励
• Ⅱ.1 已发表论文
• Ⅱ.2 待发表论文
• Ⅱ.3 学术奖励