论文摘要
传统的数值求解偏微分方程（PDE）的算法包括以有限差分、有限元为代表的局部法和以谱方法为代表的整体法。近年来,Wei,Hoffman等人提出了一种所谓离散奇异卷积（DSC）的算法,这种算法兼具整体法的精确性和局部法的灵活性。DSC算法不同的奇异核及其衍生算法已成功地应用到弹性力学、流体力学和数字信号处理等多个领域。DSC算法的意义在于:DSC算子可以看作是一种微分算子,具有形式简单、结构统一,精度较高的特点; 另一方面,DSC核与小波函数有着密不可分的联系。因此,DSC算法有利于偏微分方程数值解和小波分析这两个学科的交叉融合。非线性PDE的求解一直是科学计算中的难题,DSC算法在求解非线性PDE,特别是流体力学的问题计算中也存在数值解振荡的问题。因此,利用小波分析这一强大的时-频分析工具针对DSC 算法的特点,寻求合适的抑制振荡的各种格式、算法是DSC算法求解PDE中的一个重要课题。本文利用小波分析理论,对DSC算法求解线性、非线性偏微分方程作出了补充和改进,主要内容体现在两方面,一是利用Daubechies小波函数的尺度函数作自相关,构造了一种新的DSC核。这种DSC和具有内插、对称、紧支的特点,在某些情况下求某些方程具有优越性; 二是分析了DSC算法在求解非线性方程中的数值解振荡问题,利用小波变换理论分析了振荡解的奇异性,探讨了该奇异性在小波变换的特点,从而能构造了DSC-Wavelet迭代算法抑制振荡。并从频域角度揭示了迭代算法的机制。本文是对于小波分析应用于偏微分方程数值解的一种新的尝试。文章从频域的角度,不仅将DSC核看作一种微分算子,还将其看作是滤波器组,同时也将方程的解视作带有奇异性的信号。未囿于方程本身的特性,从数值信号处理的角度对含有振荡的数值解进行分析处理。最后,通过一种非线性发展型方程―Burger’s方程及其初始问题验证了DSC-Wavelet算法的有效性和这种思想的可行性。
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标签：算法论文; 非线性偏微分方程论文; 小波分析论文; 方程论文; 振荡抑制论文;