论文摘要
大型线性方程组的求解是大规模科学与工程计算的核心。随着生产实践的发展，迭代法已取代直接解法成为求解大型线性方程组的最重要的一类方法。半迭代法是迭代法的一种，与一般迭代法相比，半迭代法不仅可以提高线性方程组的收敛速度，而且可以使一些对原方程发散的迭代法收敛。自Varga 1957年提出半迭代法以来，许多学者都对此作了研究（见[1]-[16]）。本文主要是讨论一类非对称矩阵半迭代法收敛性的问题。Young在文献[17]中，给出了线性方程组Ax=b的迭代矩阵为对称阵（此时迭代矩阵特征值为实数）时，半迭代法的收敛性。在本文第二章，按照Young的方法，利用Chebyshev多项式及其基本性质，讨论了线性方程组Ax=b的迭代矩阵为反对称阵（此时迭代矩阵特征值为纯虚数或零）时，半迭代法的收敛性，从而扩大了[17]中半迭代法的适用范围，并且在§2．3中，用实例说明了对某些矩阵而言，我们得到的结果要广于[17]。Eiermann和Varga在文献[18]中，讨论了线性方程组Ax=b系数矩阵的Jacobi矩阵B是弱循环指数为2的相容次序矩阵，在B2的特征值为非负实数，满足σ（B2）（?）[0，β2]β∶=ρ（B）＜1的条件下，把半迭代法应用于SOR方法。在本文第三章，我们利用[18]中相似的方法，在Jacobi矩阵B是弱循环指数为2的相容次序矩阵的前提下，从SSOR迭代法的特征值λ与其Jacobi迭代矩阵B的特征值μ的关系式[λ-（1-ω）2]2=λ（2-ω）2ω2μ2出发，当矩阵B2的特征值满足σ（B2）（?）[0，β2] 0＜β∶=ρ（B）＜1（就是所谓的非负情形）时，研究半迭代SSOR方法。定理3．3．1得到结论：应用于半迭代的SSOR方法加速了取得最优参数ω=ωb的SSOR方法。此外，有一个有意义的结论[见定理3．4．1]，若知道σ（B2）谱半径有形式σ（B2）（?）[0，γ2]∪{β2} 0＜γ∶=max{|μ|∶μ∈σ（B），|μ|＜β}，使用一个次优松弛因子ωs＜ωb，则可以得到一个更小的渐近收敛因子。这是用半迭代法加速SSOR方法时，得到的另一个较好的结果。在Jacobi矩阵B是弱循环指数为2的相容次序矩阵的前提下，当σ（B2）（?）[-α2，0] 0＜α∶=ρ（B）（就是所谓的非正情形）时，第四章研究了半迭代SSOR方法，得到与第三章一致的结论。