某些非线性发展方程孤立波解的稳定性和动力系统的性质

论文摘要

本论文首先研究刻画深水波的Benjamin-Ono方程的孤立波解和激光等离子体相互作用而得的广义Zakharov方程组孤立波解的轨道稳定性，这两个方程存在孤立波解，而且可以化为Hamilton形式（du）/（dt）=JE’（u），其中E是能量泛函，J是一个反对称线性算子．然后利用M．Grillakis，J．Shatah和W．Strauss[21，22]提出的抽象的轨道稳定性理论以及详尽的谱分析，证明了它们的孤立波解是轨道稳定的．接着讨论描述等离子体中非线性漂移波演化过程[78，79]的Hasegawa-Mima（简记为HM）方程，主要证明了三维情形下描述静态的电子漂移波和离子声波耦合[76]的广义HM方程组周期初边值问题和Cauchy问题整体光滑解的存在性和惟一性．并给出了具粘性项ε△2u的二维HM方程初值问题当粘性系数ε趋向零时局部光滑解趋向于相应的HM方程初值问题的解，以及收敛速度阶数的估计．本论文分为五章：第一章，介绍Benjamin-Ono方程、Zakharov方程和HM方程的研究背景和进展情况，并阐述我们的主要结果．第二章，首先阐述M．Grillakis等人提出的轨道稳定性理论，并应用该方法给出Benjamin-Ono方程孤立波解的轨道稳定性证明．第三章，应用轨道稳定性理论结合谱分析证明了广义Zakharov方程组孤立波解的轨道稳定性．第四章，用Faedo-Gal（?）rkin方法讨论三维广义HM方程组周期初边值问题和Cauchy问题解的适定性．第五章，证明了具粘性项ε△2u的二维HM方程初值问题当粘性系数ε趋向零时局部光滑解趋向于相应的HM方程初值问题的解，以及收敛速度阶数的估计．

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• §1.1 研究背景和进展介绍
• §1.1.1 深水波方程的研究背景和进展
• §1.1.2 Zakharov方程的研究背景和进展
• §1.1.3 HM方程的物理背景和进展
• §1.2 主要结果的概述
• 第二章 轨道稳定性理论及Benjamin-Ono方程孤立波解的稳定性
• §2.1 前言
• §2.2 轨道稳定性理论
• §2.3 Benjamin-Ono方程孤立波解的存在性和稳定性
• §2.3.1 孤立波解的存在性
• §2.3.2 主要结果
• §2.3.3 定理3.2的证明
• 第三章 广义Zakharov方程组孤立波解的轨道稳定性
• §3.1 引言
• §3.2 孤立波解的存在性
• §3.3 主要结果
• §3.4 定理3的证明
• §3.5 p（d″）=1的证明
• 第四章 三维广义HM方程组周期初边值问题和Cauchy问题
• §4.1 前言
• §4.2 近似解的存在性
• §4.3 近似解的先验估计
• §4.4 近似解的收敛性和弱解的存在性
• §4.5 高阶估计和光滑解的存在惟一性
• §4.6 Cauchy问题
• 2u的二维HM方程解的收敛性（当ε→0）'>第五章 具粘性项ε△²u的二维HM方程解的收敛性（当ε→0）
• §5.1 引言
• §5.2 问题（1.2）（1.3）解的先验估计
• §5.3 一些收敛结果
• 参考文献
• 博士期间发表或完成论文列表
• 致谢