高维扩散过程的大偏差

论文摘要

本论文分两部分,第一部分目的是将一维扩散过程的大偏差结果拓广到高维,对于高维扩散过程dX（t）=σ（t）dB（t）,（其中σ（t）未知）,我们讨论其平方变差过程[X]t=integral from n=0 to t（σσ*）（s）ds的估计Qtn（X）:=∑k=0[nt](Xk/n-X（k-1）/n)(Xk/n-X（k-1）/n*的大偏差及中偏差。通过利用G（?）rtner-Ellis定理,得到了上述估计在固定时刻t=1时的中偏差,同时通过计算其对数矩生成函数的Fenchel-Legendre变换,得到其速率函数的精确显示表达,第二部分目的是得到平稳高斯过程满足Poincaré不等式和log-Sobolev不等式的充要条件,同时给出了相应的最优系数,并且把得到的结果推广到了滑动平均过程。 本论文的内容分为四章进行讨论:第一章绪论部分,综述了概率论大偏差原理的历史背景及其发展状况,第二章简单介绍了大偏差原理的基本概念、基本原理,并且介绍了大偏差原理在独立与非独立情形时的两大常用方法。第三章提出了扩散过程大偏差的基本假设,同时给出了在一维和高维两种情形下证明其结论所需的主要引理和命题,并且分别给出了在一维和高维两种情形下,扩散过程其经验平方变差在固定时刻t=1时的中偏差结论。第四章为文章的第二部分,给出了平稳高斯过程关于Poincaré不等式和log-Sobolev不等式的主要结论。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• 第二章 预备知识
• §2.1 背景及意义
• §2.2 大偏差原理
• 第三章 高维扩散过程扩散系数估计的中偏差
• §3.1 基本假设
• §3.2 主要命题及引理
• §3.3 主要结果
• 第四章 Poincaré and log-Sobolev inequality for stationary Gaussian processes and moving average processes
• §4. 1 Introduction and Main Results
• §4. 2 Proof of Theorem 4.1.2 and the continuous time counterpart
• §4. 2. 1 Proof of Theorem 4.1.2
• §4. 2. 2 Continuous time stationary Gaussian processes
• §4. 3 Extension and several examples
• §4. 3. 1 Extension to moving average processes
• §4. 3. 2 Several examples
• 参考文献
• 致谢