论文摘要
生态学是主要研究物种及其与环境之间相互关系的学科。近年来,有越来越多的人研究种群生态学领域的数学模型。这反映了数学模型在理解动态过程以及实际预测中的重要作用。单种群模型虽然一般与实验室研究有关,但是他们能反映现实中影响种群动态的各种因素。多种群模型已经被广泛应用到各个领域,如捕食和竞争作用、可再生资源管理、抗农药菌株的演化、害虫的生态控制、多物种群落和植物—食植者系统等。年龄结构种群模型已经被很多人研究过。最早的无扩散年龄结构模型是McKendrick-von Foerster的线性模型[32,56]和Gurtin-MacCamy的非线性模型[34]。关于这类无扩散问题的研究,参见[18.29.30.44.50]及其参考文献。另一方面,研究空间扩散对年龄结构种群模型的影响非常重要.Gurtin[33]和Rotemberg[66]首先将空间扩散引进年龄结构模型。很多作者[2.3.23.35.46.49.51.52.55.58]研究了其扩展问题。在第一章中,我们研究了无空间扩散的年龄结构种群模型。这个模型研究的是一类海洋无脊椎动物的增长。这类无脊椎动物的生长包括固着的成虫期和浮游的幼虫期,例如藤壶。成虫固着在有限的区域,生产幼虫。而幼虫可以自由地从一个区域漂游到另一个区域。我们在第二章研究了带非线性扩散的年龄结构种群模型。它可以描述生活在固定的空间区域的某个种群的密度变化,例如鱼类[23,36]。在很多种群模型中,出生率被认为是即刻生效的。然而,在现实中,考虑到达到成熟需要一段时间,可能存在时滞。有很多新模型考虑了时滞的影响。Smith在[70],Smith和Thieme在[71]中对有未成熟和成熟年龄阶段的种群提出了时滞微分方程.So,Wu和Zou在[74]中用Smith的方法,对成熟种群得到了时滞微分方程组。另外,在[75]中他们得到了一维连续无界空间区域中带时滞的非局部反应扩散方程.D.Liang和J.H.Wu在[54]考虑了生活在一维空间传播区域的物种,得到了带时滞和非局部效应的反应对流扩散模型.文献[55]的作者考虑了二维有界区域,提出了不同边界条件下带时滞和非局部反应的反应扩散方程。本文作者在第三章考虑了带局部时滞的种群模型。这个模型和著名的Nicholson’s blowflies模型类似。有很多文章研究过Nicholson’sblowflies模型,对有限区域情况,参见[57]、[72]、[73]和[78]。随着生存历史和栖息地特点等生态信息的不断完善,模型逐渐变得贴近现实,而对模型的数值方法研究也变得更加重要。对上面提到的几种种群模型,本文作者已经在发展其数值解法方面做了一些工作。全文共分三章。在第一章,我们研究了海洋无脊椎动物的年龄结构模型的间断Galerkin方法。Roughgarden等人在[67]中首次对生活在局部地区的海洋无脊椎动物提出了年龄结构种群模型。由于生殖周期不是闭的,这个模型可以看作是开放式系统模型。[8,39,48,62,79]等文献扩展了该模型。另外,Roughgarden和Iwasa在[40,68]中提出了封闭的年龄结构模型并将它扩展到多物种和多栖息地模型。考虑有限寿命的种群模型,在极限年龄附近,死亡率函数可能是无界的,解可能是陡峭的或非正则的。因此,在数值计算中,用非等距网格和在不同的时间层加密网格是很重要的。为实现这个目的,间断Galerkin方法可以被用来有效地逼近种群模型的解。间断Galerkin方法被Reed和Hill[65]首先引进和应用在中子迁移方程。接着,这个方法被广泛研究,参见[1,7,9,22,26,41]。间断Galerkin方法不仅拥有有限元方法的一些优点,还吸收了有限差分的一些特点。这个方法很适合解有局部特性的问题。它易于局部网格加密和自适应计算。另外,由于其在单元之间有简单的通信方式,还易于实现并行计算。进一步地,在跨越单元边界的时候没有连续性要求,从而每个单元上可以选择正交的基函数,高阶有限元逼近时可以形成良态代数系统[1.21]。Kim在[47]研究了线性种群模型的间断Galerkin方法,分析了半离散格式的误差估计,但是没有考虑全离散格式和非线性问题.我们在这章考虑了较复杂的非线性年龄结构种群模型。在§1.2,我们给出一些记号并提出半离散和全离散格式。接着,在§1.3,得到了半离散问题误差估计,用Schauder固定点定理证明了半离散问题解的存在性。在§1.4.1,我们分析了全离散格式的误差估计。最后,在§1.4.2,给出数值算例验证我们的方法的有效性。由于我们提出的间断Galerkin方法是求解非线性耦合系统,因此理论分析比较复杂。本章结果对研究种群增长的非线性系统有重要的理论和应用价值。在第二章,我们研究带非线性扩散和反应的年龄结构种群模型。很多文章只得到了时间和年龄方向的一阶格式。为了提高计算效率和精度,有必要构造高阶格式。在这一章,用沿时间-年龄特征线的特征差分法（[42,46,58]）和空间变量的有限元法,我们对这个非线性问题提出了两个二阶格式,一个是隐格式,另一个是显格式。我们用变分方法,Schauder固定点定理和先验估计技巧分析了这两个格式。在§2.2,我们分别提出了二阶隐格式和显格式。接着,我们在§2.3得到隐格式的误差估计,在§2.4证明了隐格式的解的全局存在性。在§2.5,我们得到了显格式的误差估计。这两个格式在时间和年龄方向都是二阶的。相对于一阶格式,在相同精度的情况下,我们的格式可以用较大的时间步长和较少的网格点进行计算。在第二章的结尾,我们给出数值算例来验证我们的理论结果。算例中的模型有实际意义,它可以描述单个物种比如鱼类的动态[23,36]。数值结果和[23]中的方法进行了比较。从数值结果可以看出,我们的格式在时间和年龄方向都是二阶的。我们在第三章考虑带时滞的种群模型的自适应有限元方法。自适应有限元由于其高效性已经成为科学和工程计算领域一个重要课题,并吸引了众多的研究者。早期的工作,参见Babu（?）ka等人的工作（[4],[5],[6],[10],[11]和[12]）。近期的工作,参见[14],[15],[16],[24],[25],[26],[27],[60]及其参考文献。在这些文献中,有很多研究了线性和非线性抛物问题。特别地,[10],[11],[16],[25]和[64]得到了线性抛物问题的后验误差估计。[14],[17],[59],[63]和[77]则分析了非线性抛物问题的后验误差估计。众所周知,时间相关问题的解的光滑性经常随时间变化相当大。因此用自适应方法求解这类问题是很有必要的。用[16]的思想,我们研究了带时滞的种群模型的自适应有限元方法。在§3.1,我们给出了全离散格式和辅助问题。在§3.2,我们分别得到了后验误差估计的上界和局部空间误差的下界。在§3.3,给出了误差控制定理从而保证自适应算法的可靠性。最后,在§3.4,我们证明任给允许误差TOL(time、TOLspace和TOLcoarse,§3.3给出的时间和空间自适应算法会在有限步停止。由于自适应方法的高效性,我们本章的理论分析对研究时滞种群模型的有效数值解法有重要意义。
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