本文主要研究内容
作者张洪光（2019）在《二维分数阶扩散方程的最小二乘混合有限元方法》一文中研究指出：本文主要考虑如下2-β阶二维扩散方程其中,=[0,1]×[0,1],0<β<1,p(x,y)表示扩散浓度,f(x,y)表示源项,介质的扩散系数假定为常数1.▽表示梯度算子,▽1-β·表示分数阶散度算子.为满足工程实践中的需要,一个理想的数值模拟方法应该同时对未知函数及其通量做出高精度的逼近.然而我们发现,基于差分框架的数值方法仅能给出对未知函数的模拟,而基于有限元框架的数值方法大都限于对一维分数阶问题的讨论,对应用更为广泛二维分数阶扩散问题的数值方法与相应的数值分析理论尚不多见.在本文中,我们借鉴算子分裂思想,通过引入扩散通量u=-▽p,将二维分数阶扩散方程分解为两个低阶方程构成的方程组.然后,我们利用最小二乘技术,建立相应的极小问题,得到基于最小二乘框架的混合变分格式,并且证明了变分格式与极小问题的等价性.为了证明变分格式解的存在性,我们选择合适的Sobolev空间,并利用Lax-Milgram引理进行证明.我们选择空间H0(Ω作为解p的允许空间,因为空间H01(Ω)具有良好的性质,即空间H01(Ω)中范数与半范数是等价的,Lax-Milgra引理要求的强制性与连续性都得到满足,从而解p是存在的.对于扩散通量u,我们尝试利用分数阶散度空间H1-β(div;Ω)作为其存在空间,但在论证过程中,我们发现空间H1-β(div;Ω)并不具备与空间H01(Ω)类似的良好性质,即空间H1-β(div;Ω)中范数与半范数是不等价的,这为Lax-Milgram引理的使用带来极大的困难.为了解决这个问题,我们引入分数阶散度算子的核空间Ker{▽1-β.},结合分数阶散度空间,构造了分数阶商空间,并且证明了在分数阶商空间中定义的范数与半范数是等价的.因此,我们选择分数阶商空间作为扩散通量u的允许空间,并证明了其存在性.然后,我们分别利用最低次Ravi-rt-Thomas有限元空间与双线性有限元空间对扩散通量u和解p进行逼近,给出了最小二乘混合有限元离散格式,同时证明了离散解的存在唯一性.最后,我们利用数值实验说明最小二乘混合有限元方法的有效性.在进行数值实验的过程中,因为分数阶导数算子的非局部性,所以导致系数矩阵是非稀疏的矩阵,这为矩阵的计算和方程组的求解带来了极大的困难.为了解决这个问题,我们利用矩阵分块的思想和分数阶散度算子的性质,将系数矩阵分解为四个结构相对简单的分块矩阵,证明了分块矩阵的对称性质,这为矩阵的计算提供了便利,降低了计算的难度。
Abstract
ben wen zhu yao kao lv ru xia 2-βjie er wei kuo san fang cheng ji zhong ,=[0,1]×[0,1],0<β<1,p(x,y)biao shi kuo san nong du ,f(x,y)biao shi yuan xiang ,jie zhi de kuo san ji shu jia ding wei chang shu 1.▽biao shi ti du suan zi ,▽1-β·biao shi fen shu jie san du suan zi .wei man zu gong cheng shi jian zhong de xu yao ,yi ge li xiang de shu zhi mo ni fang fa ying gai tong shi dui wei zhi han shu ji ji tong liang zuo chu gao jing du de bi jin .ran er wo men fa xian ,ji yu cha fen kuang jia de shu zhi fang fa jin neng gei chu dui wei zhi han shu de mo ni ,er ji yu you xian yuan kuang jia de shu zhi fang fa da dou xian yu dui yi wei fen shu jie wen ti de tao lun ,dui ying yong geng wei an fan er wei fen shu jie kuo san wen ti de shu zhi fang fa yu xiang ying de shu zhi fen xi li lun shang bu duo jian .zai ben wen zhong ,wo men jie jian suan zi fen lie sai xiang ,tong guo yin ru kuo san tong liang u=-▽p,jiang er wei fen shu jie kuo san fang cheng fen jie wei liang ge di jie fang cheng gou cheng de fang cheng zu .ran hou ,wo men li yong zui xiao er cheng ji shu ,jian li xiang ying de ji xiao wen ti ,de dao ji yu zui xiao er cheng kuang jia de hun ge bian fen ge shi ,bing ju zheng ming le bian fen ge shi yu ji xiao wen ti de deng jia xing .wei le zheng ming bian fen ge shi jie de cun zai xing ,wo men shua ze ge kuo de Sobolevkong jian ,bing li yong Lax-Milgramyin li jin hang zheng ming .wo men shua ze kong jian H0(Ωzuo wei jie pde yun hu kong jian ,yin wei kong jian H01(Ω)ju you liang hao de xing zhi ,ji kong jian H01(Ω)zhong fan shu yu ban fan shu shi deng jia de ,Lax-Milgrayin li yao qiu de jiang zhi xing yu lian xu xing dou de dao man zu ,cong er jie pshi cun zai de .dui yu kuo san tong liang u,wo men chang shi li yong fen shu jie san du kong jian H1-β(div;Ω)zuo wei ji cun zai kong jian ,dan zai lun zheng guo cheng zhong ,wo men fa xian kong jian H1-β(div;Ω)bing bu ju bei yu kong jian H01(Ω)lei shi de liang hao xing zhi ,ji kong jian H1-β(div;Ω)zhong fan shu yu ban fan shu shi bu deng jia de ,zhe wei Lax-Milgramyin li de shi yong dai lai ji da de kun nan .wei le jie jue zhe ge wen ti ,wo men yin ru fen shu jie san du suan zi de he kong jian Ker{▽1-β.},jie ge fen shu jie san du kong jian ,gou zao le fen shu jie shang kong jian ,bing ju zheng ming le zai fen shu jie shang kong jian zhong ding yi de fan shu yu ban fan shu shi deng jia de .yin ci ,wo men shua ze fen shu jie shang kong jian zuo wei kuo san tong liang ude yun hu kong jian ,bing zheng ming le ji cun zai xing .ran hou ,wo men fen bie li yong zui di ci Ravi-rt-Thomasyou xian yuan kong jian yu shuang xian xing you xian yuan kong jian dui kuo san tong liang uhe jie pjin hang bi jin ,gei chu le zui xiao er cheng hun ge you xian yuan li san ge shi ,tong shi zheng ming le li san jie de cun zai wei yi xing .zui hou ,wo men li yong shu zhi shi yan shui ming zui xiao er cheng hun ge you xian yuan fang fa de you xiao xing .zai jin hang shu zhi shi yan de guo cheng zhong ,yin wei fen shu jie dao shu suan zi de fei ju bu xing ,suo yi dao zhi ji shu ju zhen shi fei xi shu de ju zhen ,zhe wei ju zhen de ji suan he fang cheng zu de qiu jie dai lai le ji da de kun nan .wei le jie jue zhe ge wen ti ,wo men li yong ju zhen fen kuai de sai xiang he fen shu jie san du suan zi de xing zhi ,jiang ji shu ju zhen fen jie wei si ge jie gou xiang dui jian chan de fen kuai ju zhen ,zheng ming le fen kuai ju zhen de dui chen xing zhi ,zhe wei ju zhen de ji suan di gong le bian li ,jiang di le ji suan de nan du 。
论文参考文献
论文详细介绍
论文作者分别是来自山东师范大学的张洪光，发表于刊物山东师范大学2019-07-06论文，是一篇关于二维分数阶扩散方程论文,分数阶空间论文,分数阶商空间论文,算子分裂论文,最小二乘论文,变分形式论文,混合有限元论文,数值实验论文,山东师范大学2019-07-06论文的文章。本文可供学术参考使用，各位学者可以免费参考阅读下载，文章观点不代表本站观点，资料来自山东师范大学2019-07-06论文网站，若本站收录的文献无意侵犯了您的著作版权，请联系我们删除。
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