自扩散与交错扩散引起的Turing不稳定

论文摘要

数学生态学是一门使用数学模型和方法研究生态现象的学科.我们借助对生态现象的研究和分析,得到对生态现象科学的解释以及对生态变化做出预测.随着社会的需要,它正快速成长为一门现代应用数学学科,已经引起了人们的广泛兴趣.生物数学中建立的连续模型一般有两种,一种是常微分方程（ODE）模型,加入扩散作用则是另一种模型,偏微分方程（PDE）模型.由于加入了扩散作用,在一定情况下,模型的相关性质就会相应地发生一些有趣的变化,其中1952年20世纪伟大的英国科学家Alan. M. Turing在《The chemical basis of morphogenesis》一文中提出的Turing不稳定现象就是一个很好的例子.Turing认为,如果参加相互反应的化学物质自身没有扩散作用,那么它们经过一段时间的反应,其浓度都会变得均一、稳定,但是如果这些化学物质具有扩散作用,那么在满足某种条件下,原来浓度均一、稳定的平衡状态将变成不稳定的平衡状态.换句话说在同一个正常数平衡解处常微分模型是稳定的,但是对于加入了扩散作用的偏微分模型却是不稳定的.自从1952年Turing提出这个有趣的论点到现在,Turing不稳定现象已经引起了化学、物理学、生物学、数学、通信等各学科研究者的广泛兴趣.尤其是科技发展的今天,Turing不稳定思想已经成为现代化学中反应扩散理论中的最基础的理论之一,科学家们在实验室中也已经成功实现Turing不稳定现象.本文在引言中具体介绍了Turing不稳定这一问题的来源、相关工作背景以及已经研究得到的关于Turing不稳定的主要结论.在第二章中,本文首先给出了一个在一维空间（ 0,π）上具有自扩散的两种群Turing不稳定的一般例子及其相应结论的证明过程;然后再加入时滞把问题推广到全空间Rn （ n≥1）中的一般n维有界空间Ω上,通过对有界空间Ω的正交分解,给出了一个出现Turing不稳定现象的充分条件,通过相应结论的比较,说明时滞对Turing不稳定现象有一定的影响,但是如果常微系统绝对稳定,那么偏微系统一定绝对稳定;最后利用前面的理论,具体讨论了一般的Lotka-Volterra模型在满足什么条件下,加入自扩散作用才有可能出现Turing不稳定,同时我们给出了具体的例子运用数值模拟来进一步说明文中的结论.在现实生活中除了自扩散作用普遍存在着,交错扩散也是普遍存在的.研究带有交错扩散的非线性偏微分方程是相对比较困难的,它需要更强理论支持和分析能力,但是随着科学技术的不断发展,科学理论的不断成熟与更新,近几十年来,各学科的越来越多的学者加入了研究交错扩散的行列.在生物界中,种群之间的相互迁徙就是一种典型的交错扩散,有些生态现象就是由于交错扩散引起的,而不是由于自扩散引起的.在研究自扩散的基础上加入了交错扩散的讨论,相对来讲更为合理.本文的第三章,对一个具体的带交错扩散的蚜虫-天敌-杀虫剂的模型进行了研究,针对这个具体模型着重研究了交错扩散对于Turing不稳定现象的影响.第一小节,给出了这一具体模型建立的生物学背景及其前人所做的一些工作,说明了研究这一模型的实际意义.在接下来的两小节中,本文主要讨论了在满足什么样条件下,模型在其同一个正常数平衡解处出现Turing不稳定现象,重点研究交错扩散对于Turing不稳定现象的影响,得出在满足常微分系统稳定的条件下,不管加入了自扩散的系统是稳定的还是不稳定的,再加入交错扩散后,只要满足一定的条件,交错扩散都有可能改变自扩散系统在同一正常值平衡解处稳定性的结论,也就是说,交错扩散既可以使系统产生Turing不稳定现象,也可以使原来的Turing不稳定现象消失.最后进行相应的数值模拟,验证上面的结论.

论文目录

• 中文摘要
• 英文摘要
• 1 引言
• 1.1 Turing 不稳定现象的产生背景和发展概况
• 1.2 本文的主要任务
• 2 具有自扩散的两种群 Turing 不稳定
• 2.1 一维的 Turing 不稳定例子
• 2.2 n 维带时滞的 Turing 不稳定系统
• 2.3 数值模拟
• 3 具有交错扩散的蚜虫- 天敌- 杀虫剂模型
• 3.1 模型来源与预备知识
• 3.2 n 维有界空间中交错扩散对于 Turing 不稳定的影响
• 3.3 一维空间（0, π） 中交错扩散对于 Turing 不稳定的影响
• 参考文献
• 致谢
• 读学位期间发表的学术论文目录