两类分数阶偏微分方程数值解法

论文摘要

随着分数阶偏微分方程在理论和实践上的发展与应用,它已经越来越受到数学家的重视。相对于整数阶微积分构造的模型,分数阶微积分构造的模型更能符合实际情况。在建立的数学模型中,分数阶偏微分方程拥有的良好性质(记忆性、遗传性等),是传统(整数阶)偏微分方程所无法比拟的。因此,对分数阶偏微分方程数值解法的研究是十分有必要的。本文则是针对时间分数阶色散方程和时间—空间分数阶电报方程进行求解和理论分析,期望其能在工程应用中发挥作用。首先,利用有限差分法对时间分数阶色散方程的第一边值问题进行了数值求解,得出了一个无条件稳定,并且收敛的隐式差分格式,通过给出数值实验对差分格式的有效性进行了验证,进一步验证了理论分析的正确性。接着,对于时间分数阶色散方程的周期边值问题构造了一个隐式差分格式,并证明了差分格式是无条件稳定的,而且是收敛的。并验证了差分格式的有效性,且通过数值实验可以看出该格式具有较高的数值精度。其次,利用有限差分法对时间—空间分数阶电报方程的第一边值问题进行了差分离散,同样给出了一个无条件稳定的隐式差分格式,并且是收敛的。最后,给出数值实验进一步验证了该差分格式是非常有效的,通过数值算例可以看出差分格式有较高的数值精度。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 绪论
• 1.1 分数阶微分方程的课题背景和意义
• 1.2 国内外分数阶微分方程的研究现状
• 1.3 三种常见的分数阶微积分定义
• 1.4 本文的研究内容
• 第2章 时间分数阶色散方程的差分方法
• 2.1 时间分数阶色散方程的两点边值问题
• 2.1.1 差分格式的构造
• 2.1.2 差分格式的稳定性分析
• 2.1.3 差分格式的收敛性分析
• 2.1.4 数值算例
• 2.2 时间分数阶色散方程的周期问题
• 2.2.1 差分格式的构造
• 2.2.2 差分格式的稳定性和收敛性分析
• 2.2.3 数值算例
• 2.3 本章小结
• 第3章 时间—空间分数阶电报方程的差分方法
• 3.1 差分格式的构造
• 3.2 差分格式的稳定性分析
• 3.3 差分格式的收敛性分析
• 3.4 数值算例
• 3.5 本章小结
• 结论
• 参考文献
• 攻读硕士学位期间发表的论文及其他成果
• 致谢