论文题目: 偏微分方程理论起源
论文类型: 博士论文
论文专业: 科学技术史
作者: 任辛喜
导师: 李文林
关键词: 偏微分方程,解的存在性,分类,适定性,狄利克雷原理,历史
文献来源: 西北大学
发表年度: 2005
论文摘要: 偏微分方程理论的历史相对较短,但作为数学和物理结合的产物,这门学科的理论意义与应用价值都是难以估量的。本文在前人工作的基础上,利用历史分析、比较研究的手法,兼顾思想内容和具体方法,对偏微分方程理论的起源进行研究,主要研究成果如下。 一、考察了偏微分方程初值问题解的存在性思想和证明方法的起源,指出:柯西问题解的存在性思想起源于柯西1820年代的常微分方程研究,而优函数方法最早出现在1831年,是他在《分析教程》中就有的幂级数收敛的比较判别法和复变函数研究中最新结果——柯西不等式应用于偏微分方程的结果,这也解释了为什么柯西第一个提出并解决了解析解的存在性问题。但是柯西的这些工作传播滞后当时影响不大,达布和科瓦列夫斯卡娅30年后又做了部分重复研究。 二、深入探究了科瓦列夫斯卡娅关于柯西-科瓦列夫斯卡娅定理的创新内容及其影响,指出:科瓦列夫斯卡娅独立地证明了柯西问题解的存在唯一性定理,无论与柯西的结果比较,还是作为独立于魏尔斯特拉斯的标志,她给出的著名反例都是至关重要的,她通过此例搞清楚了解析解存在性和唯一性的根本条件,并将雅可比与魏尔斯特拉斯的有关结论和方法创造性地应用于她的定理。柯西-科瓦列夫斯卡娅定理引发了大量的研究,因而成为偏微分方程理论发展的一个里程碑。为了阐明科瓦列夫斯卡娅的思想来源,同时对魏尔斯特拉斯的相关工作做了大量的比较分析。 三、论述了阿达玛的适定性理论诞生过程,指出:适定性概念的创立是分四步完成的:连续依赖性思想的萌芽;“适定”术语的提出;连续依赖性概念的形成;适定性概念的确立。解对条件连续依赖性的思想符合阿达玛注重物理背景的原则,是对柯西-科瓦列夫斯卡娅定理的一种修正。 四、对杜布瓦雷蒙的分型理论进行了详细的阐述。对于两个变量的二阶线性偏微分方程,杜布瓦雷蒙根据特征方程将其分为三大类型,对于常系数情形又进一步划分成七种标准形式,从而穷尽了所有的可能。并对彼得罗夫斯基对方程组的分类做了简要分析。杜布瓦雷蒙分类工作的目的在于对黎曼方法进行一般研究,与此同时,他寻求将波动方程的达朗贝尔解的特性推广到一般双曲型,以及与特征有关的初值问题解的存在性,并在一定程度上得到了结果。 五、从边值问题解的存在性角度对狄利克雷原理的历史做了研究,认为黎曼属于旧风格的数学家,魏尔斯特拉斯强调存在性代表着一种新思想,后者对前者的批评是新旧分析学思想的作用,促进了偏微分方程理论的发展。
论文目录:
引言
第一章 柯西的开创性工作
1. 第一个存在性定理
2. 优方法
3. 两点注记
4. 1842: PDE理论的开端
第二章 科瓦列夫斯卡娅的贡献
1. 科瓦列夫斯卡娅的生平
2. 存在性唯一性证明
3. 优先权争议
4. 独创性成份
5. 工作评价及其推广
6. 结论
附录 科瓦列夫斯卡娅的数学人生和民粹主义哲学
第三章 狄利克雷问题解的存在性
1. 狄利克雷原理
2. 魏尔斯特拉斯的批评
3. 黎曼的老派风格
4. 存在性的证明及推广
5. 原理的复活
6. 几点历史启示
第四章 适定性概念的诞生
1. 阿达玛及其数学人生
2. 适定性思想的萌芽
3. 适定性概念的确立
4. 结论
第五章 分型理论和杜布瓦雷蒙的双曲型方程研究
1. 杜布瓦雷蒙的分型理论
2. 彼得罗夫斯基对分型的推广
3. 关于杜布瓦雷蒙的双曲型方程研究的评述
4. 杜布瓦雷蒙对双曲型方程的研究
附录1 Weber对杜布瓦雷蒙的生平介绍(悼词)
附录2 杜布瓦雷蒙的论作一览
结语
攻读博士学位期间发表的论文
后记
发布时间: 2005-11-18
参考文献
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