G2型李代数的双参数量子群

论文摘要

在量子群的理论中,我们研究半单李代数g的包络代数U（g）的量子形变Uq（g）以及半单代数群G上的正则函数环k（G）的量子形变kq（G）,在这两种情形下,Uq（g）或kq（G）都被赋予一个新的附加结构——Drinfel’d意义下的既非交换又非余交换的Hopf代数结构,最本质的或者最关键的是量子形变必须与这种Hopf代数结构具有相容性。 代数Uq（g）通常被称作量子包络代数或者Drinfel’d-Jimbo代数,这些代数在大约1985年由Drinfel’d和Jimbo分别独立地引入,它们首先被用来构造量子Yang-Baxter方程的解。从那时开始,人们发现量子群在很多领域都有着深刻的应用,范围遍及理论物理、辛几何、扭结理论与约化代数群的模表示理论等。 数学家及物理学家在进行研究工作时所面对的一些问题的复杂性导致了双参数量子群以及多参数量子群的产生。例如:G.Benkart与T.Rody在文[2,3]中引入了Down-up代数。Down-up代数拥有很多美好的性质,其中包括诸如Poincare’-Birkhoff-Witt型基以及好的表示理论。他们的研究显示出在A型李代数的双参数量子群与Down-up代数之间存在着某些密切的联系。 相应于典型半单李代数的双参数量子群已有明确的结果,但相应于例外单李代数的双参数量子群还未完成。因此,本论文的研究具有重要的意义与价值。 G.Benkart与S.Witherspoon研究了相应于一般线性李代数gln与特殊线性李代数s1n的双参数量子群,他们证明了这些量子群可以实现为Drinfel’d double结构。在此基础上,他们构造了相应的的R-矩阵与量子Casimir元。另外,他们还讨论了这些量子群之间的同构以及与其他人所讨论的多参数量子群之间的区别及联系。在[5]中,同是这两位作者,决定了相应于一般线性李代数gln与特殊线性李代数sln的双参数量子群的有限维单模并给出了一个完全可约结果。 此后有关双参数量子群的工作一直局限在A型范围内,直到2001年,胡乃红教授在法国IRMA所访问期间首次发现了相应于正交李代数SO2n+1或SO2n以及辛李代数sp2n（即B、C、D型）的具有Drinfel’d double结构的双参数量子群的新结构。在[9]中,Bergeron,Gao与Hu同时研究了A、B、C、D型情形下Lusztig

论文目录

• 第一章 引言
• 第二章 预备知识
• 2.1 复半单李代数的一些重要结果
• 2的一些基本特性'>2.2 例外单李代数G₂的一些基本特性
• 2.3 Hopf代数的概念及一些相关的主要结果
• 2.4 单参数量子群（Drinfel'd——Jimbo代数）
• 2.5 双参数量子群以及有关它们的一些基本事实
• 2型双参数量子群的定义结构'>第三章 G₂型双参数量子群的定义结构
• 第四章 Drinfel'd double结构
• 2）至Us^-1,r^-1（G₂）的Lusztig's对称'>第五章 自Ur,s（G₂）至Us^-1,r^-1（G₂）的Lusztig's对称
• 附录 一些计算
• 参考文献
• 致谢