几类Volterra泛函微方程数值方法的稳定性分析

论文摘要

泛函微分方程（FDEs）在自动控制、生物学、医学、化学、人口学、经济学等众多领域有着广泛应用，其理论和算法研究具有无可置疑的重要性，近三十年来，Volterra泛函微分方程（VFDEs），特别是其重要子类——延迟微分方程（DDEs）的算法理论研究得到了众多学者的高度关注，取得了大量研究成果．例如在DDEs数值方法线性稳定性研究领域，Barwell、Watanabe、Zennaro、Spijker、in’t Hout、Bellen、Jackiewicz、刘明珠、匡蛟勋、田红炯、张诚坚及胡广大等人作了大量工作，其中主要成果可参见Bellen和Zennaro及匡蛟勋的专著；DDEs数值方法非线性稳定性研究始于1989年Torelli及1992年Bellen和Zennaro的工作，1999年，黄乘明、李寿佛等人在BIT发表的论文指出Torelli稳定性是一个仅有极少数低阶方法才能满足的过于苛刻的概念，并提出了一个新的更为合理的稳定性概念，在此基础上，使得DDEs数值方法非线性稳定性研究得以蓬勃发展。尽管当时的研究仍局限于常延迟、等步长、线性插值及负的Lipschitz常数，但研究对象几乎遍及包括线性多步法和Runge-Kutta方法在内的一切常用算法，获得了大量新的数值稳定性结果。VFDEs数值方法的基于经典Lipschitz条件的收敛性研究已获得大量成果，例如可参见李寿佛1997年的专著，关于DDEs数值方法的经典收敛性研究可参见Oberle、Pesch、Bellen、Zennaro、Tavernini、Arndt、Enright、Feldstein、Neves、Karoui、Vaillancourt、Baker和Paul等人的工作。然而这些收敛性理论仅适用于非刚性问题，不适用于刚性问题。非线性刚性DDEs数值方法的收敛性研究始于张诚坚等人1997的工作，他们提出了Runge-Kutta方法的D-收敛概念，并证明了若干隐式Runge-Kutta方法能满足这一要求。其后，黄乘明等人从他们提出的新的更为合理的数值稳定性概念出发，获得了关于隐式Runge-Kutta方法和一般线性方法的大量D-收敛性结果，近年来，李寿佛在《中国科学》等刊物上发表一系列论文，进一步建立了一般的非线性刚性VFDEs的稳定性理论及其数值方法（包括Runge-Kutta方法和一般线性方法）的B-稳定性与B-收敛性理论，后者统称为数值方法的B-理论，可视为Dahlquist、Butcher、Frank及李寿佛等人所建立的刚性常微分方程数值方法的B-理论的进一步推广，应当指出，这里所建立的新理论比文献中已有的理

论文目录

• 第一章 概述
• §1.1 Volterra泛函微分方程
• §1.2 算法理论回顾
• §1.3 本文的工作
• 第二章 中立型延迟微分方程数值方法的稳定性分析
• §2.1 引言
• §2.2 单支方法的稳定性分析
• §2.3 Runge-Kutta方法的稳定性分析
• §2.4 一般线性方法的稳定性分析
• §2.5 线性θ—方法的渐近稳定性
• §2.6 数值试验
• §2.7 小结
• 第三章 延迟积分微分方程数值方法的稳定性分析
• §3.1 引言
• §3.2 单支方法的稳定性分析
• §3.3 一般线性方法的稳定性分析
• §3.4 线性θ—方法的渐近稳定性
• §3.5 数值试验
• §3.6 小结
• 第四章 中立型延迟积分微分方程数值方法的稳定性分析
• §4.1 引言
• §4.2 单支方法的稳定性分析
• §4.3 Runge-Kutta方法的稳定性分析
• §4.4 一般线性方法的稳定性分析
• §4.5 线性θ—方法的渐近稳定性
• §4.6 数值试验
• §4.7 小结
• 第五章 Volterra泛函微分方程梯形方法的B-理论
• §5.1 引言
• §5.2 Volterra泛函微分方程梯形方法的B-理论
• §5.3 数值试验
• §5.4 小结
• 展望
• 参考文献
• 攻读博士学位期间已发表和完成的论文