关于一些几何流的Harnack不等式的研究

论文摘要

本文主要研究了局部共形平坦流形上的Yamabe流的局部Harnack不等式、欧式空间中完备超曲面上的依赖平均曲率的曲率流的Harnack不等式和Kahler流形上具有位能的热方程的Harnack不等式,以及它们的一些应用。随着微分方程理论的成熟,几何分析在近20年里得到了充分的发展,成为当前几何研究中的一个重要方向。在这方面最为重要的两个例子是：Huisken与Ilmanen用逆平均曲率流解决了黎曼Penrose不等式[28]和曹怀东与朱熹平用Ricci流工具证明了庞卡莱猜想[8]。几何流的Harnack不等式也称为Li-Yau-Hamilton不等式,在几何分析中起了很重要的作用。抛物方程的Harnack不等式起源于Moser在1964年的工作[33],他研究了线性散度型方程的情形。1986年在[31]中李伟光和丘成桐用最大值原理得到流形上热方程的Harnack不等式,这是第一次将微分方程的Harnack不等式和几何进行结合起来。随后,Hamilton用同样的技巧得到了流形上一些非线性方程的Harnack不等式[19,20,22]。Chow分别于1991和1992年计算了欧式空间中超曲面上的高斯曲率流和局部共形平坦流形上的Yamabe流的Harnack不等式[12,13]。另外,曹怀东在1992年得到紧致Kahler流形上的Kahler-Ricci流的Harnack不等式[5]。Andrews用高斯映射的逆映射法得到一类欧式空间中超曲面上几何流的Harnack不等式[1]。近几年,这方面的研究也很多,如[7,9,10,29,30]等。本文在前人工作的基础上了得到了以下一些结果：第一章研究了局部共形平坦流形上的Yamabe流的局部Harnack不等式及其推论——Yamabe流的Nonconic估计。设（Mn,g0）是一个光滑完备的局部共形平坦的n维黎曼流形。Yamabe流由下面方程给出其中x∈Mn,t≥0,R（x,t）是度量为g（x,t）时的数量曲率。Yamabe流的提出起初是为了解决Yamabe问题。Yamabe问题是说给定一个紧致黎曼流形（M,g0）,则存在常数量曲率的度量g逐点共形于g0。Trudinger1968年指出了Yamabe本人给出的证明是错误的,并订正了当数量曲率非正时Yamabe的证明[41]；Aubin于1976年[2]证明了流形dimM≥6非共形平坦时数量曲率为正的情形,Yamabe问题也是成立的；Schoen在1984年[35]给出了一个完整的证明。关于Yamabe流的一些工作有：Hamlilton于1988年解决了二维流形上Yamabe;流的解的收敛性[18]Chow在1992年证明了具有正Ricci曲率的紧致局部共形平坦流形在规范Yamabe流下解是长时间存在的且在C∞范数下收敛于常曲率度量,同时给出了它的Harnack不等式[13]。叶如钢在[44]中给出了Yamabe流解的整体存在性的证明。最近,Hamilton证明了Ricci流的局部Harnack不等式,并由此得到Ricci流的Nonconic估计。在他的报告《Curvature and Volume Bounds》[24]中使用这个估计证明了“有限距离具有有限曲率”。这是在庞卡莱猜想的证明中很重要的一步。下面是Ricci流的Nonconic估计。定理A（Hamilton的Ricci流中的Nonconic估计）：设Mn是一个黎曼流形,（Mn,9（t））是方程（?）=-2Rij的解,t∈[0,T)。U是Mn上的一个连通开集。且在U×[0,t0],t0<T上满足如下曲率条件：（?）C0,对（?） M>0,O∈U,若Mr2=C1,使得Br（O,t0）（?）U,则对（?）（p,t）∈B（?）（O,%）×[t0-（?）,t0]和（?） V∈TpMn,有DR（V）2≤CM2（Rc（V,V）+Cm|V|2）.其中C是只依赖于n和C1的正常数。王捷用同样的方法考虑了欧式空间中超曲面上的平均曲率流的局部Harnack不等式,并得到平均曲率流的Nonconic估计[43]。定理B（平均曲率流的局部Harnack估计）：如果在BR（O,t）×[0,R2]上面超曲面上第二基本形式满足条件其中O∈Mn,C0=MR,则对我们可以找到一个只与n和C0有关的正常数B,使得局部Harnack不等式成立：在第一章中,我们对Yamabe流做了类似的研究,得到的结果是定理1.1.1和推论1.1.1。我们令如下曲率条件为（）：定理1.1.1（Yamabe流的局部Harnack估计）：假定（Mn,g（x,t））是一个光滑完备局部共形平坦的n维黎曼流形,满足Yamabe流方程,t∈[0,r2],在Br（O,t）×[0,r2]上面满足曲率条件（）,则在（?）（x,t）∈B（?）（O,t）×[0,r2],（?）V∈TxMn,存在一个只依赖于n的正常数B,使下面的局部Harnack不等式成立：推论1.1.1（Yamabe流中的Nonconic估计）：在定理1.1.1相同的条件下,在点（O,r2）,我们有如下数量曲率的导数估计：（1）（2）（3）（?）R（V）=0,若或其中C1和C2只依赖于n。在第二章中,我们给出了欧式空间中完备超曲面上的依赖平均曲率的曲率流的Harnack不等式,利用这个不等式得到了一些推论,包括它的积分Harnack不等式,并给出了该曲率流的解分别为平移孤子和扩张孤子的充分条件。从而将[22,40,42]的工作进行了推广。设Mn是一个光滑无边的流形,F0：Mn→Rn+1是一个浸入凸超曲面。我们考虑欧式空间中一簇单参数光滑超曲面的浸入映射F（·,t）：Mn×[0,T)→Rn+1,它满足下面的发展方程：其中（?）单位内法向量,f依赖于平均曲率H的一个光滑函数。定义A：若F：Mn→Rn+1是一个浸入超曲面,f：Ω→R是光滑函数,Ω（?）R,H（x）∈Ω,（?） x∈M,则我们称是F是f-流的可容许解。关于欧式空间中超曲面上曲率流的工作很多。和本文相关的一些工作是：Hamilton在1995年证明了平均曲率流的Harnack不等式[22]；Smoczyk在[40]证明了f-流在f’>0条件下可容许解的短时间存在性和在Rn+1中紧致超曲面上的Harnack不等式；王捷研究了欧式空间中超曲面上的Hk-流[42],得到了完备情形下的同样的估计。本章对他们的工作进行推广,得到定理2.1.1。在本章中,Mt代表f-流的可容许解,当t∈[0，T)时,可容许解是存在。我们假设Mt满足以下条件：（）紧致或者完备非紧且在每个时刻t,|A|、|DA|和|D2A|有界,这里A是Mt的第二基本形式。定理2.1.1：假定F0: Mn→Rn+1是一个光滑的凸浸入,Mt在条件（）下是凸的,并且f：[0,+∞)→R是一个光滑函数,对于V x∈[0,+∞)满足其中a∈R是常数,则存在一个小的正常数d,使得下面不等式成立其中V是任意的切向量场,t∈[0,T)满足d+（a+2）t>0,在Ricci流中,Hamilton在[23]中利用blow up的方法得到了三类奇点的模型,并对第1类奇点进行了详细的分类；在[21]中证明了第Ⅱ类奇点是梯度Ricci孤子；曹怀东在[6]中指出了第Ⅲ类奇点是膨胀Ricci孤子。在平均曲率流中,Huisken也通过blow up的方法讨论了奇点分类问题,他在[27]中对第Ⅰ类奇点进行了详细的分类；Hamilton在[22]中证明了第Ⅱ类奇点是平移孤子；陈兵龙在[11]中证明了第Ⅲ类奇点是扩张梯度孤子。对于Hk-流,盛为民和吴超在[39]中考虑紧流形的情形,得到了Hk-流的梯度估计；在出现第Ⅰ类奇点时对于rescale之后的流形给出了单调性公式,运用这个单调性公式得到了第Ⅰ类奇点的结构；王捷在[45]中证明第Ⅱ类奇点和第Ⅲ类奇点分别是平移孤子和扩张的梯度孤子。本章接下来给出了f-流上类似的结果。定理2.1.2：若f满足定理2.1.1的假定且a+2>0,则对于f-流满足（）条件的任何严格凸的永恒解,如果它的平均曲率在时空中某点取到最大值,那它必定是平移孤子。定理2.1.3：若f满足定理2.1.1的假定且a+2>0,则对于f-流满足（）条件的任何严格凸的解,如果它在0<t<+∞上存在且（d+（a+2）t）Ha+2在时空中某点取到最大值,那它必定是扩张孤子。在第三章我们讨论了Kahler流形上具有位能的热方程的Harnack不等式及其应用。设（M,g0）是n维紧致Kahler流形,具有正的全纯双截曲率,若gij（t）是M上一族Kahler度量满足下面Kahler-Ricci流方程其中Rij是度量gij的Ricci曲率。本章我们研究M上的抛物方程正解的微分Harnack不等式,其中f：M×[0,T)→R+是光滑函数。Perelman在[34]中证明了Ricci流下共轭热方程的正基本解的Harnack不等式。曹晓冬在[9]中研究了Ricci流下具有位能的反向热方程的正解的一些微分Harnack不等式,并且得到了Perelman的同样的结果；最近,他又和Hamilton合作证明了具有位能的热方程的正解的Harnack不等式[10]。本章对他们的结果进行推广,考虑Kahler-Ricci流下紧致Kahler流形上类似问题,得到了下面的定理：定理3.1.1：设M是n维紧致Kahler流形,g（t）满足上面Kahler-Ricci流且具有正的全纯双截曲率,f是M上热方程的正解,令则对于P<0。定理3.1.2：设M是n维紧致Kahler流形,g（t）满足上面Kahler-Ricci充且具有正的全纯双截曲率,f是M上热方程的正解,令其中d是任意常数,则对于（?）t∈（0,T）有下式成立而且,max（（et-1）Q）是关于t的非增函数。注：如果我们给出一些有界性的假定,则上面两个定理在完备非紧全纯双截曲率非负的Kahler流形上也成立。

论文目录

• 目录
• 摘要
• Abstract
• 第一章 局部共形平坦流形上Yamabe流的局部Harnack不等式
• 1.1 前言
• 1.2 曲率的局部导数估计
• 1.3 一个好的附加项
• 1.4 剩余项的下界
• 1.5 局部Harnack不等式的证明
• 第二章 欧式空间中曲率流的Harnack不等式
• 2.1 前言
• 2.2 发展方程
• 2.3 f-孤子
• 2.4 Harnack表达式的发展方程
• 2.5 Harnack不等式的证明
• 2.6 一些推论
• 2.7 平移孤子
• 2.8 扩张孤子
• 第三章 Kahler流形上带有位能的热方程的Harnack不等式
• 3.1 前言
• 3.2 准备工作
• 3.3 定理3.1.1的证明
• 3.4 定理3.1.2的证明
• 3.5 熵公式及单调性
• 参考文献
• 发表文章目录
• 致谢