论文摘要
随着激光技术的出现,非线性光学逐渐发展为一门新兴学科。近年来,非线性科学领域已取得显著成果,极大地推动了科学技术的发展,掀起了国内外研究非线性光学相关分支领域的热潮。非线性科学中许多物理现象和物理问题最终均归结为非线性薛定谔方程的求解问题,因而对各类非线性薛定谔方程的求解变得十分重要。本论文主要求解了非局域非线性介质中的几类非线性薛定谔方程的解析解,得出了孤立波在非线性介质中传输的一些特性及规律。本论文主要研究成果如下：1、研究强非局域非线性介质中二维及三维谐振子势调制下的非线性薛定谔方程的解析解运用自相似技术,对二维及三维谐振子调制势下孤立波的传输方程进行了求解,得出其解析解,并在此基础上,对孤立波的传输特性进行了数值分析。结果表明,在谐振子势调制下,描述孤立波传播的波函数为厄米特函数,且在能量峰值上表现出类似于亮孤子的中间区域能量高于外围能量的特性,在几何分布上形成矩阵式波包；波包总数受x、y方向量子数取值的影响,波包分布形式亦受量子数影响为矩阵或方阵形式,波包能量幅值沿x、y轴的正、负向均逐渐增大,且波包能量关于矩阵的对角线或x、y轴对称,即谐振子调制势下,非线性系统可展现稳定的厄米特孤立波特性。研究结果对进一步研究二维、三维谐振子调制势或其他光学调制势下亮、暗孤子的传输特性、保真度、损耗及坍塌等具有指导意义。2、研究强非局域非线性介质中的三维厄米特一贝塞尔一高斯孤子簇通过自相似技术,用解析和数值方法分别对三维非线性介质中的非线性薛定谔方程进行了求解,获得了一类新的孤子簇一厄米特一贝塞尔-高斯空间孤子簇。这类孤子簇在几何上呈现出涡旋、偶极子、四极子特征,且在链上的孤子总数依赖厄米特函数及贝塞尔多项式中的量子数n和m。研究发现,数值解和解析解基本一致,外加的白噪声并未导致孤子坍塌,从而证实了此类孤波的稳定性。这些理论预期可能会对具有高保真度的低能空间孤子传输给出新见解。3、研究具有外势的一维广义非线性薛定谔方程的解析解及孤子解利用平衡原理及F展开技术,构建了一维广义非线性非自治薛定谔方程的一组精确解析行波解、孤子解及获得这两类解所需的约束条件。接着,讨论了在几种典型外加势场下,该方程的简化解析解、孤子解及所需的相应约束条件。最后,对这些解的稳定性进行了数值分析。结果表明,在几种典型外部势场调制下,均存在稳定的孤子解。4、研究含非傍轴项的一维非线性薛定谔方程的解析解及孤子解利用平衡原理及F展开技术,对非线性介质中含非傍轴项的一维非线性薛定谔方程进行了求解,首次得出了四种不同初始及约束条件下的周期行波解。接着,以第一种情形为例,讨论了当模参数m→1时,周期性行波解退化为孤子解以及所需的约束条件。最后,选取第一种情形下的几组孤子解为例,进行了数值分析,得出其孤子解亦是稳定的,从而实现了在含有非傍轴调制项时,仍可通过选取合适的调制参数来获取稳定孤子解。