管道内一类跨音速激波的适定性

论文摘要

本文致力于研究可压缩理想流体在管道内定常流动时产生的一类跨音速激波的适定性问题。 利用管道输运流体以及控制流体的运动，在生产、生活和国防等方面有着广泛而重要的应用。空气动力学实验和数值计算模拟都表明，当可压缩超音速气流进入管道后，如果管道出口处压强适当大，就可能形成如下的定常流动状态；在管道扩张段内部产生一个激波，气流越过此激波后将变为亚音速状态，而压强跃增后将逐渐达到在管道出口处给定的分布值。这样的激波被称为跨音速激波。本文考察的是在平直管（或管壁有小扰动）内的这样一种特殊的跨音速激波，其波前和波后的状态都是适当匀常状态的小扰动。本文的主要结果是定理3．1与定理4．1。我们的结论说明，对入口给定的超音速来流，若在出口给压强条件，则当出口压强条件允许有一个自由度时（即其中含一个待解常数时）这种管道中的跨音速激波（经过一固定点）及其相应的流场对超音速来流和管壁的微小扰动是稳定的。证明表明这种适定性与在管内要求质量守恒密切相关。我们分别对两维截面变化较小的管道和三维具方形截面的平直管研究了这个跨音速激波的适定性问题（对于后者，需要超音速来流满足一定对称性条件）。 本文用定常Euler方程组来描述上述跨音速激波。由于定常Euler方程组在亚音速区域是双曲-椭圆复合型的（即既有实特征又有复特征），而跨音速激波是求解前未知的曲面，所以从数学角度讲，这就是给出了一个非线性椭圆-双曲复合型偏微分方程组自由边界问题的适定的提法并对其求解。 下面对全文的结构安排作一简单介绍。 第一章，绪论。这一章概要地介绍了管道内跨音速激波问题的现象、历史发展、研究进展，涉及的一些偏微分方程理论的概况和本文在处理上的整体思路、方法及其来源，以期使读者对这一类问题的全貌有所了解。 第二章主要是严格地建立了管道内Euler方程组跨音速激波问题的两类特解。其中第一类是本文研究的重点。对这个特解的准确理解对于研究一般跨音速激波的适定性具有重要意义。 第三章讨论在截面变化较小的两维管道内跨音速激波的适定性，指出了对出口任意给定压强，密度，Mach数，熵等之一时跨音速激波的不适定性。证明的关键是利用质量守恒方程引入Lagrange变换，通过对Lagrange坐标下的Euler方程组的特征分解将之约化为一个2×2方程组（对于亚音速流它是椭圆型的）和两个代数方程来处理。由于激波与管壁正交，为了处理由此带来的解在管壁附近的奇性，我们引用了D．Gilbarg，L．H（?）rmander和G．Lieberman的“Intermediate”Schauder估计理论。 第四章在对来流一定的对称性假设下就三维具方形截面平管讨论了跨音速激波问题。此时证明的关键是利用Euler方程组自身的特点，通过将之适当的微分和线性组合，把跨音速激波问题化为四个耦合的子问题。这时，跨音速激波的适定性和一个等值面边值问题的可解性有关。

论文目录

• 中文摘要
• 英文摘要
• 第一章 绪论
• 第二章 管道中两类特殊的跨音速激波
• §2.1 第一类跨音速激波
• §2.2 第二类跨音速激波
• §2.2.1 极坐标下扇环形扩张喷管里柱对称流的跨音速激波问题
• §2.2.2 超音速曲线,亚音速曲线和R-H曲线
• §2.2.3 第二类跨音速激波的存在性
• §2.2.4 三维球对称流情形
• 第三章 两维缓变喷管中跨音速激波的适定性
• §3.1 问题的提法和主要结果
• §3.1.1 加权H（o|¨）der空间
• §3.1.2 主要结果
• §3.2 Lagrange坐标下的Euler方程组
• §3.3 特征分解
• §3.4 超音速流的存在性
• §3.5 自由边值问题（B）和固定边值问题（C）
• §3.5.1 问题（B）
• §3.5.2 问题（C）
• §3.6 化问题（C）到其等价形式问题（D）
• §3.7 求解线性化的问题（D）
• §3.7.1 线性化的问题（D1）
• §3.7.2 "线性化"的问题（D2）
• §3.8 问题（C）的解
• §3.9 解决问题（B）:激波形状的确定
• §3.10 给定其它出口条件时跨音速激波问题的适定性
• 第四章 具方形截面三维平直管道中的跨音速激波
• 2上的跨音速激波问题'>§4.1 [-1,1]×T²上的跨音速激波问题
• §4.2 一个自由边界问题
• §4.3 自由边界的更新映射和一系列固定边界问题
• §4.4 固定边界问题的等价化约
• §4.4.1 方程组的变形
• §4.4.2 边界条件的变形
• f）的等价形式:问题（D_f¹）-（D_f⁴）'>§4.4.3 固定边界问题（C_f）的等价形式:问题（D_f¹）-（D_f⁴）
• §4.5 线性化问题的求解
• f¹）'>§4.5.1 线性化问题（LD_f¹）
• f²）'>§4.5.2 线性化问题（LD_f²）
• f³）'>§4.5.3 线性化问题（LD_f³）
• f⁴）'>§4.5.4 线性化问题（LD_f⁴）
• §4.6 固定边界问题的可解性
• §4.6.1 高阶模的有界性
• §4.6.2 低阶模的压缩性
• §4.7 跨音速激波形状的确定
• §4.7.1 边界更新映射
• §4.7.2 固定边界问题的解对边界的连续依赖性
• §4.7.3 自由边界问题的解决
• §4.8 具方形截面平直管中的跨音速激波问题
• 参考文献
• 致谢