涉及导数的亚纯函数的惟一性及其相关问题

论文摘要

亚纯函数的惟一性理论是复分析领域的重要研究内容.所谓惟一性问题就是研究满足一定条件的函数是否惟一.亚纯函数理论起源于芬兰数学家R. Nevanlinna所创立的值分布理论.Nevanlinna理论的创立不仅奠定了现代亚纯函数理论的基础,而且对数学的许多分支的发展,交叉和融合也产生了重大而深远的影响.特别是它在复微分方程理论的研究中,提供了十分重要的研究工具.近几十年来,这一理论一直倍受关注.亚纯函数惟一性理论作为值分布论中一个重要的研究内容,也一并成为国际上比较活跃的课题.国外的数学家如F. Gross、W. Hayman等在该领域做出了众多出色的成果.我国数学家熊庆来,杨乐和仪洪勋等也在这一方面取得了许多深刻的结论.随着研究的不断深入和发展,这一理论将会变得更加丰富和重要.本文以值分布理论为重要工具,研究了涉及导数的亚纯函数的惟一性问题,全文共分五章.第一章,简要介绍了有关亚纯函数值分布理论的一些主要概念、基本结果和常用符号.第二章,讨论了关于整函数分担多项式的惟一性问题,推广了方明亮的有关定理.定理2.1假设f和g是两个非常数整函数, p ( z )为次数为n1的多项式, n1 , n ,k为三个正整数,且满足n ? 2 n1 ? 2 k? 2.如果( f n )( k)和( g n )( k)分担p ( z )CM,则(1) ,其中c1 ,c 2和c为三个常数,且满足;或者(2) f ? tg,其中t为常数且t n? 1.第三章,讨论了涉及整函数与其导数分担多项式的惟一性问题,改进了原有的定理.定理3.1设p ( z )为超越整函数, Q( z )为q次的非零多项式,其中k (? q? 1)为正整数.若f为方程的任一解,并且存在正整数满足,其中E为有穷线性测度集,则( f) .定理3.2设f ( z )为非常数的整函数且满足( f),其中( f)不为正整数,Q ( z )为q( q 1)次的多项式.若f ,f ( n)和f ( m)分担Q( z )CM,其中正整数n和m满足q 1 n m,则存在有穷复数且满足,使得,其中d j(1 j m n)为有穷复常数.第四章,涉及到亚纯函数与其导数分担一个小函数的惟一性问题,进而推广了Yu,Liu和Gu等人的有关定理.定理4.1设f和a( 0, )为亚纯函数,且若p 3且或者,若p 2且或者,若p 1且则f L( f).第五章,研究了一类非齐次线性复微分方程解的增长性,从而证明了下列结果.定理5.1设h0为超越慢增长整函数, Q( z)为非零多项式, k 1为正整数,为常数.如果f ( z )为微分方程的任意非零解,则(f).定理5.2设f为有穷级整函数,如果f和分担aCM,则cf,其中c 0为常数.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 预备知识
• 1.1 Nevanlinna 理论简介
• 1.2 亚纯函数惟一性理论概要
• 1.3 微分方程复振荡理论和Wiman-Valiron 理论概要
• 第二章 两个整函数分担多项式的惟一性
• 2.1 引言及主要结果
• 2.2 引理
• 2.3 定理的证明
• 2.3.1 定理2.1 的证明
• 第三章 整函数及其导数分担多项式的惟一性
• 3.1 引言及主要结果
• 3.2 引理
• 3.3 定理的证明
• 3.3.1 定理3.1 的证明
• 3.3.2 定理3.2 的证明
• 第四章 亚纯函数及其导数分担一个公共值的惟一性
• 4.1 引言及主要结果
• 4.2 引理
• 4.3 定理的证明
• 4.3.1 定理4.1 的证明
• 第五章 一类常微分方程的复振荡问题
• 5.1 引言及主要结果
• 5.2 引理
• 5.3 定理的证明
• 5.3.1 定理5.1 的证明
• 5.3.2 定理5.2 的证明
• 结论
• 参考文献
• 攻读硕士期间取得的学术成果
• 致谢