板的弱形式求积元分析

论文摘要

弱形式求积元法（简称求积元）把数值积分、数值微分与单元形式紧密地结合在一起，形成了一套独具特色的数值计算方法。它针对问题的弱形式描述，在划分可积域后直接引入数值积分和数值微分来离散问题，得到代数方程组以求解问题。由于采用了数学离散的思想，求积元法不用直接构造形函数，在构造高阶单元等方面展现出其强大的能力。求积元法所构造的高阶板单元的计算效率很高，使用灵活方便，计算结果可靠，后处理精度高，是工程数值计算问题的一个理想选择。本文在课题组多年来对弱形式求积元法的研究基础上研究了薄板等需要满足边界C1类连续的板问题，主要内容包括：1、薄板的线性分析。利用Gauss-Lobatto积分、微分求积和广义微分求积构造了可处理任意四边形问题的薄板位移型单元，该单元能够实现单元组集、各种形式边界条件的施加，并能够满足解的位移协调性要求。在与有限元计算结果的对比中，该单元显现出了明显的高计算效率。本文尝试了通过单元重构的方法进一步增强求积单元的灵活性，成功地解决了不同单元组集的问题。2、高阶板的线性分析。在薄板线性单元的基础上构造了针对Reddy三阶板模型以及Kant三阶板模型的求积单元，展示了弱形式求积元法对于高阶板这类位移场较复杂的问题同样能够得到准确可靠的计算结果。通过对厚板的计算进一步明确了高阶板模型的应用范围。3、薄板的几何非线性分析。对于几何非线性分析这种位移场连续性较好，且计算量大的问题非常适合采用弱形式求积元进行计算。本文利用弱形式求积元法计算了von Kárman薄板大挠度问题，得到可靠的计算结果，计算效率明显强于有限元。求积单元对于非线性屈曲问题也能够得到准确的结果。4、薄板的弹塑性分析。基于塑性增量理论构造了用于薄板弹塑性分析的高阶求积单元。该单元在计算理想弹塑性材料的薄板问题时表现出强大的能力，甚至可以进行极限分析。数值算例表明求积元法在处理C1类连续板问题时计算结果可靠、效率与传统有限元相比优势明显，且有着足够的灵活性以满足工程结构的数值计算需要。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 绪论
• 1.1 课题研究背景及意义
• 1.2 板问题的数值计算方法
• 1.2.1 板的位移假设
• 1.2.2 两种数学描述
• 1.2.3 数值分析方法
• 1.2.4 有限元中的板壳单元
• 1.3 求积元法概述
• 1.3.1 数值积分
• 1.3.2 数值微分
• 1.3.3 数值积分与数值微分的选择
• 1.3.4 几何变换
• 1.4 求积元法简介
• 1.4.1 计算过程
• 1.4.2 求积元法的形函数
• 1.4.3 求积元法的特点
• 1.4.4 求积元法的优势
• 1.5 研究目的与意义
• 1.6 研究内容
• 第2章 薄板的求积元分析
• 2.1 引言
• 2.2 公式推导
• 2.2.1 能量泛函
• 2.2.2 求积元离散
• 2.2.3 单元组集与边界条件施加
• 2.3 单元重构
• 2.3.1 不同单元的组集
• 2.3.2 梁板结构的联合求解
• 2.3.3 利用单元重构求解 C1 问题
• 2.4 求积元法求解薄板问题算例
• 2.4.1 三边简支正三角形薄板受均布荷载
• 2.4.2 简支方板受中心集中荷载
• 2.4.3 方板的自由振动
• 2.4.4 变厚度环板的自由振动
• 2.4.5 相同问题不同网格的求解
• 2.4.6 四面简支长方形板受均布荷载
• 2.5 讨论
• 2.5.1 对于单元协调性的讨论
• 2.5.2 对于几何变换的讨论
• 2.5.3 对于单元重构的讨论
• 2.5.4 对于形函数的讨论
• 2.6 总结
• 第3章 高阶板的求积元线性分析
• 3.1 引言
• 3.2 Reddy 三阶板的求积元分析
• 3.2.1 能量泛函的建立
• 3.2.2 求积元离散
• 3.2.3 组集与边界条件的施加
• 3.3 Reddy 三阶板的数值算例
• 3.3.1 四边简支受均布荷载的方板
• 3.3.2 对边简支方板的自由振动
• 3.3.3 圆板自由振动
• 3.4 Kant 三阶板的求积元分析
• 3.5 Kant 三阶板的数值算例
• 3.6 总结与讨论
• 第4章 薄板的几何非线性求积元分析
• 4.1 引言
• 4.2 Newton-Raphson 方法
• 4.3 求积元分析
• 4.3.1 应变能的表达
• 4.3.2 应变能的求积元离散
• 4.3.3 外荷载向量的组成
• 4.3.4 非线性问题的求解
• 4.4 薄板的几何非线性分析算例
• 4.4.1 固支方板受横向均布荷载
• 4.4.2 方板的后屈曲
• 4.4.3 单元组集算例
• 4.5 总结与讨论
• 第5章 薄板的弹塑性求积元分析
• 5.1 引言
• 5.2 塑性力学的基本法则
• 5.2.1 初始屈服条件
• 5.2.2 流动法则
• 5.2.3 硬化法则
• 5.2.4 加载、卸载法则
• 5.3 板壳问题的弹塑性应力应变关系
• 5.4 弹塑性问题非线性方程的求解方案
• 5.4.1 欧拉方法
• 5.4.2 变刚度迭代法
• 5.4.3 常刚度迭代法
• 5.4.4 弹性因子的确定
• 5.5 薄板弹塑性求积元分析过程
• 5.6 薄板弹塑性求积元算例
• 5.7 总结与讨论
• 第6章 总结和展望
• 参考文献
• 致谢
• 个人简历、在学期间发表的学术论文与研究成果