若干非线性偏微分方程的可积性与求解的研究

论文摘要

随着现代科学技术的发展,非线性科学已成为一门比较新的学科,其涉及的领域越来越广。在台风、海啸、矿山、流体力学、等离子体、等离子体化学、光学、通信、生物等的研究过程中,出现了大量的非线性偏微分方程。因此,这些方程所具有的一些性质,比如数值解和精确解、哈密顿结构、守恒律、对称性、可积性等对于这些物理现象的研究和解释就十分重要。论文安排如下：第一章介绍孤立子理论的历史和发展；本文的选题和主要工作。第二章介绍潘勒韦检测方法。在20世纪80年代由J.Weiss, M.Tabor和G.Carnevale等人通过推广常微分方程潘勒韦检测,提出了偏微分方程的潘勒韦检测。这种方法是判断偏微分方程是否完全可积的一个必要条件。接下来,对变系数Hirota方程进行潘勒韦检测,经过检测我们得到该方程在一定的约束条件下是潘勒韦可积的。利用零曲率方程,得到在一定的约束条件下变系数Hirota方程是拉克斯可积的；通过相似变换,得到一类变系数Hirota方程的解。第三章达布变换法是构造非线性偏微分方程解的一种很有效的方法。在一般情况下,是从零解解出发,通过一次或者是多次达布变换就可以得到方程的一孤子解和多孤子解。本文在第三章,从非零种子解出发,通过达布变换得到了Gerdjikov-Ivanov方程的更丰富的解,比如暗孤子解,呼吸子解。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• 1.1 孤立子的产生和发展概况
• 1.2 非线性方程的一些求解方法
• 1.3 本文的选题和主要工作
• 第二章 变系数Hirota方程可积性的研究
• 2.1 潘勒韦检测方法的简单介绍
• 2.2 变系数Hirota方程的潘勒韦检测
• 2.3 利用拉克斯对的方法求变系数Hirota方程的可积性条件
• 2.4 变系数Hirota方程的解
• 第三章 Gerdjikov-Ivanov方程及变系数Gerdjikov-Ivanov方程的解
• 3.1 Gerdjikov-Ivanov方程的解
• 3.2 变系数Gerdjikov-Ivanov方程的解
• 参考文献
• 在学研究成果
• 致谢