论文摘要
设g,n,k为正整数,X是势为gn的集合,它的元素称作点,（?）为集合X的一个划分,划分所得的每部分（称作组）的大小均为g,β是集合X的若干个k元子集（称作区组）组成的集族,若X中任意一对出现在同一组中的不同的元素不出现在任一区组中,任意一对不出现在同一组中的不同的元素恰出现在一个区组中,则称三元组（X,（?）,β）为型为gn的可分组设计,记作k-GDD设π为集合X上的置换,若对每一个区组B∈β,均有π（B）={π（p）|p∈B)∈β,则称置换π为该k-GDD的自同构.进一步地,若对任意一点p∈X,π（p）与p均属于同一组,且πm（p）=p当且仅当m≡0（mod g）,则称该k-GDD为半循环的,记作k-SCGDD.半循环的可分组设计与光码分多址（OCDMA）系统中一类重要的光地址码—光正交码（OOC）关系密切.型为gn的k-SCGDD可用于构造一类最佳（n×g,k,1）AM-OPPW 2-D OOC另外,它与广义Bhaskar Rao设计GBRD（n,k,g;Zg）是等价的.关于型为gn的k-SCGDD的存在性问题,k=3的情形已由Robert.P. Gallant,Zhike Jiang和Alan C.H.Ling完全解决；J.Wang和J.Yin完全解决了k=2的情形、k=4,n=4,g为偶数的情形和k=4, n≥5, n∈N且g为奇数的情形,并且部分解决了k=4,n=4,g为奇数的情形.本文研究k=4, n≥5, n∈N且g为偶数的情形.应用直接构造法和递归构造法得到如下主要结果.设g为偶数,n≥5,n∈N,E0={（g,5）|g≡±6（mod 36）},E1={（g,7）|g≡±4（mod 24）},E2={（g,10）|g≡±2（mod 12）},E3={（54,n）|n∈{10,14,15,18}}.当（g,n）（?）（?）Ei时,型为gn的4-SCGDD存在的充要条件是：g（n-1）≡0（mod 3）,gn（n-1）≡0（mod 12）；当（g,n）∈{（2,10）,（4,7）,（6,5）}时,型为gn的4-SCGDD不存在.