论文摘要
我们主要研究的是微分动力系统中的一致双曲以外的一些动力系统的性质。我们试图去理解那些在一致双曲系统中熟知的、非常理想的结论是否在在更大的一类系统中成立。我们的研究分成三个层次:部分双曲系统、控制分解系统和一般的微分自映射。首先我们证明,对一般的、具有正体积的部分双曲子集,该集合一定包含了‘相当多的’点上面的整体强稳定流形和整体强不稳定流形。如果一个正体积的部分双曲子集中有相当多的回复点,我们证明这个集合一定包含了一个正体积的、bi–saturated的子集。我们利用这些性质来深入研究accessible部分双曲系统的性质。如果一个accessible部分双曲系统有一个绝对连续不变概率测度（简称为ACIP）,那么这个系统一定是传递的,该ACIP是全支撑的,并且关于该测度几乎所有的点的轨道都在整个流形上稠密。在center bunching的条件下,我们证明这样的系统至多存在一个ACIP,并且如果存在的话,这个测度其实是个光滑的测度:该测度相对于流形体积的Radon–Nikodym导数是Ho¨lder连续的,并且有上界和正的下界。其次我们考虑一个有整体控制分解的微分同胚。我们证明这样的系统一定有非平凡的真子系统,从而一定不是极小系统。这个证明主要用到了Man?e′的一个找出非回复点的手法和廖山涛先生关于控制分解的筛滤引理和跟踪引理。最后我们考虑最一般的一个可微自映射（一般是不可逆的）。这时候我们主要考虑该系统的一个有紧支撑的遍历测度的分形维数。我们证明该测度的下逐点维数不少于该测度的测度熵与该测度的最大的Lyapunov指数的比值。进一步,如果我们假设映射在该测度的支撑上非退化,并且最小的Lyapunov指数为正的,那么该测度的上逐点维数不超过该测度的测度熵与该测度的最小的Lyapunov指数的比值。再利用Young的一个经典的判别法则,我们给出了许多经典的维数型指标的类似的估计。最后我们证明,如果系统有多出的一点正则性（具体地说,即C1+α）,那么前面非退化的要求可以去掉,即:如果最小的Lyapunov指数为正的,那么该测度的上逐点维数不超过该测度的测度熵与该测度的最小的Lyapunov指数的比值。对共形测度我们可以得到相当完备的刻画:如果一个C1+α的可微自映射的一个紧支撑的共形测度有正的Lyapunov指数,那么这个测度一定是恰当维数的,并且其分形维数恰为该测度的测度熵与其Lyapunov指数的比值。
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相关论文文献
- [1].一类非一致双曲系统中“历史集”的Hausdorff维数[J]. 应用数学 2017(01)
- [2].一种厚度一致双曲板一次成型压模方法[J]. 中国水运(下半月) 2013(10)
- [3].Logistic映射及其扰动族的双曲性(英文)[J]. 苏州大学学报(自然科学版) 2009(02)
标签：控制分解论文; 部分双曲论文; 弱遍历性论文; 绝对连续不变测度论文; 逐点维数论文;