基于点样条与流形上的细分

论文摘要

在计算机辅助几何设计（CAGD）领域中，样条与细分是两种重要的造型方法。自1978年Catmull和Clark推出第一个真正意义上的曲面细分格式以来，细分方法已经在计算机图形学领域中占有一席之地。当前运用广泛的细分格式如三点二进制逼近型曲线细分，Catmull-Clark的四边形网格细分等格式也都可以分别由单变量或多变量的样条函数推导出来。由此可见样条函数与细分方法之间有非常密切的联系。本文在Labsik关于插值31/2-细分格式的基础上，运用三角形的Clough-Tocher剖分构造三角网格上的点样条。这种样条的基函数具有星型的局部支集，在每个C-T微元内是4次多项式，边界满足C1光滑拼接。在研究点样条性质的基础上，我们导出相应的点样条曲面细分格式。细分规则中通过对每个顶点上参数α的调节，使极限曲面具有C0，C1或C2的光滑度。 流形上的曲线设计也是近十年来研究的热点之一，主要应用于刚体运动设计，比如机器人动作设计，几何制造以及计算机动画等领域。其中仿射样条簇方法，四元数方法和运动路径方法都是可行的途径，这些方法都是基于曲线的整体设计，并不适合做多分辨率分析。我们将细分的思想引进到流形上曲线设计中，对给定流形上的初始控制点列，分别考察流形的保角映射，MLS映射和垂直映射的性质，设计流形表面上的光滑曲线。 我们在流形保角映射的基础上引入单变量细分方法，通过构造流形上的保角梯度场，推导基于保角映射的曲线细分格式。保角映射的保角性质使得细分曲线至少具有C1的光滑度。作为流行映射的另一方面的研究，我们使用MLS方法将R3中的细分曲线投影到流形上，从而得到（光滑）流形上的细分曲线，并在理论上分析了MLS映射对细分格式光滑性的影响。本文还在MLS方法的基础上，通过改进迭代算子，导出基于垂直映射的细分格式。这种方法除了保持MLS细分格式光滑性的优点之外，还具有比MLS细分方法更好的形状控制能力。

论文目录

• 致谢
• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• 1.1 样条方法
• 1.2 细分方法
• 1.3 流形上的曲线设计
• 1.4 内容简介
• 1.5 内容组织
• 第二章 细分方法综述
• 2.1 曲线细分
• 2.1.1 单变量B样条
• 2.1.2 离散卷积
• 2.1.3 格式的收敛性分析
• 2.2 变分细分方法
• 2.2.1 变分样条
• 2.2.2 变分的有限元分析
• 2.2.3 细分矩阵的计算
• 2.2.4 变分细分格式举例
• 2.3 曲面细分
• 2.3.1 细分过程描述
• 2.3.2 格式分类
• 2.3.3 细分矩阵
• 2.3.4 细分曲面光滑性
• 第三章 点样条曲面细分格式
• 3.1 引言
• 3.2 三角域上的点样条
• 3.2.1 1-disc点样条
• 3.2.2 2-disc点样条
• 3.3 点样条细分
• 3.4 格式分析
• 3.5 奇异点及边界策略
• 3.5.1 奇异点
• 3.5.2 边界三角形与边界边
• 3.6 实例应用
• 第四章 基于流形映射的曲线细分
• 4.1 引言
• 4.1.1 流形的保角映射
• 4.1.2 流形上的投影算子
• 4.2 基于流形保角映射的曲线细分
• 4.2.1 单边界开网格的整体参数化细分
• 4.2.2 零亏格闭网格的整体参数化细分
• 4.2.3 复杂拓扑的局部参数化细分
• 4.3 基于投影的曲线细分
• 4.4 实例演示
• 4.4.1 基于参数化的细分曲线
• 4.4.2 基于流形投影的细分曲线
• 第五章 流形上的变分细分
• 5.1 曲线的变分细分法
• 5.2 流形上的变分样条
• 5.3 流形上的变分细分
• 5.3.1 能量矩阵
• 5.3.2 能量极小化迭代
• 5.4 能量的选择
• 5.5 实例说明
• 第六章 结论
• 6.1 本文工作
• 6.2 将来工作
• 参考文献
• 作者攻读博士期间完成论文