抽样定理与Parseval框架小波的若干问题研究

论文摘要

自1986年以来,小波分析已成为科学研究中的热点领域,其应用涉及自然科学与工程技术的许多领域。目前,小波分析已成为研究和解决自然科学与工程计算中许多复杂问题的强有力工具。在小波分析受到广泛应用的信号处理和通信领域中,抽样定理起着举足轻重的作用,它建立了离散信号和模拟信号的等价关系。小波子空间中抽样定理的研究是当今国际上抽样定理发展的一个重要方向。作为正交小波基的推广,Parseval框架小波保持了正交小波基除正交性以外的几乎所有的良好性质。如今,框架理论已经被成功地应用在信号处理、图像处理、数据压缩、抽样理论等领域,因此研究Parseval框架小波具有非常重要的意义。本文分为两个部分。第一部分研究了Parseval框架小波与Parseval框架尺度函数的构造和性质;第二部分研究了L2 ( R )子空间中非整点抽样定理和基于框架的多小波子空间的抽样定理。主要结果概括为以下几个方面:1.综述了小波分析产生的背景及小波理论和小波子空间中抽样定理若干重要方面的研究现状,并介绍了本文的主要工作。2.考虑到通过广义多分辨分析(GMRA)构造的小波都具有半正交性,因此,我们首先研究矩阵伸缩半正交框架小波的性质,给出其成立的必要条件,证明具有附加条件的半正交框架小波成立的充要条件。其次,发现所有GMRA Parseval框架小波与{T kψ: k∈Zd}为一闭子空间W0的Parseval框架的等价性,从而进一步完善了广义多分辨分析的理论基础。最后,通过小波的最小向量滤波器刻画了GMRA Parseval框架小波的一个重要性质。3.研究了Parseval框架尺度函数集与MSF Parseval框架小波,得出许多有意义的结论。首先给出可测集S为Parseval框架尺度函数集的充要条件。其次,通过研究可测集S的性质,得到一种构造Parseval框架尺度函数集的方法,并证明所有的Parseval框架尺度函数集都由这种方法构成。最后,依靠揭示MSF Parseval框架小波与Parseval框架尺度函数集之间的关系,我们得到两个结果:一是每个Parseval框架尺度函数集生成一个满足一定条件的MSF Parseval框架小波ψ;二是对于维数函数几乎处处满足Dψ(ξ) =χ? (ξ)≤1的MSF Parseval框架小波ψ,一定存在一个Parseval框架尺度函数集S使得ψ? =χBS S成立。由于MSF Parseval框架小波ψ可以由它的Fourier变换ψ? =χW来定义,研究小波的性质就可以简化为研究可测集W的性质。因此,我们的结果不但提供了一种构造MSF Parseval框架小波的新方法,而且也加深了人们对小波的理解。4.把文献[101]的结果推广到Parseval框架尺度函数的情况,得到可测集G为Parseval框架尺度函数的频域支集的充要条件。特别是通过讨论集合G、τ( G)、12G和G 12G之间的关系,揭示了基于多分辨分析的尺度函数与基于Parseval框架多分辨分析的尺度函数之间的不同。同时,通过研究有限带宽Parseval框架小波的频域支集,得到它的一个重要性质。5.讨论了L2 ( R )子空间中基于框架的非整点抽样定理。我们依靠平移算子和伸缩算子性质来证明( )L2 R子空间中a > 0步长非整点抽样定理成立的充要条件,同时也给出了其抽样函数在频域中的表示形式。6.研究了多小波子空间中非整点规则抽样与非规则抽样。首先,通过Zak变换提供一种构造满足一定条件的非整点规则抽样函数的方法,同时建立了基于框架的非整点规则抽样定理。其次,注意到非规则抽样具有很强的实用价值,因此,我们也研究了与框架相关的非规则抽样定理,得到其成立的必要条件。然后,基于所得结果,讨论非整点规则抽样的扰动问题,给出计算扰动的方法。最后,对整个论文的工作和研究成果进行了总结,讨论了一些有待于进一步研究的问题以及下一步的研究设想和目标。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 绪论
• 1.1 小波分析的发展历史
• 1.2 小波理论的发展近况
• 1.2.1 一元小波的构造
• 1.2.2 一元多小波的构造
• 1.2.3 多元小波的构造
• 1.2.4 小波框架
• 1.2.5 小波分析在其它方面的发展
• 1.3 抽样定理的历史与现状
• 1.3.1 小波子空间的抽样定理
• 1.3.2 平移的规则抽样定理
• 1.3.3 小波子空间中的不规则抽样定理
• 1.3.4 小波子空间中抽样定理的其它扩展
• 1.4 课题的应用背景和应用方向
• 1.4.1 基于小波分析的图像数据压缩
• 1.4.2 基于小波分析的图像处理
• 1.4.3 基于小波分析的图像编码研究
• 1.4.4 课题的应用方向
• 1.5 本文的主要工作
• 第二章 与GMRA 相关的Parseval 框架小波和半正交框架小波
• 2.1 引言
• 2.2 预备知识
• 2.3 半正交框架小波
• 2.4 与GMRA 相关的Parseval 框架小波
• 2.5 本章小结
• 第三章 Parseval 框架尺度函数集和MSF Parseval 框架小波
• 3.1 引言
• 3.2 预备知识
• 3.3 Parseval 框架尺度函数集
• 3.4 与Parseval 框架尺度函数集相关的MSF Parseval 框架小波
• 3.5 本章小结
• 第四章 Parseval 框架尺度函数与Parseval 框架小波的Fourier 变换紧支集的刻画
• 4.1 引言
• 4.2 预备知识
• 4.3 Parseval 框架小波的Fourier 变换集
• 4.4 Parseval 框架尺度函数的Fourier 变换集
• 4.5 算例
• 4.6 小结
• 第五章 基于框架的L2 （R）子空间的抽样定理
• 5.1 引言
• 5.2 背景知识
• 5.3 主要结果
• 5.4 数值算例
• 5.5 小结
• 第六章 基于框架的多小波子空间的规则与非规则抽样定理
• 6.1 引言
• 6.2 预备知识
• 6.3 规则抽样定理
• 6.4 非规则抽样定理
• 6.5 非整点规则抽样的扰动
• 6.6 小结
• 第七章 总结与展望
• 7.1 本文的主要结果
• 7.2 进一步的研究
• 参考文献
• 作者简历 攻读博士学位期间完成的主要工作
• 致谢