再生核Hilbert空间中的采样定理

论文摘要

采样理论是计算数学中的一个基本问题,同时又是一个经典的数学问题,如今它已被广泛应用于通信理论、图像处理、地质勘探、测量等领域。采样理论的研究与应用在工程技术中具有特别重要的意义与广泛的实用价值。本文主要对再生核Hilbert空间中的采样问题进行研究。首先,本文应用再生核函数空间理论的特殊技巧,针对再生核Hilbert空间中常用的Riesz基,研究再生核Hilbert空间中有关Riesz基的几个等价性条件并给出证明。当再生核Hilbert空间中的Riesz基是由再生核函数生成时,给出相应的再生核Hilbert空间中的采样定理。其次,针对实际应用中的平移不变再生核Hilbert空间,利用其再生核函数的平移不变性建立采样公式。本文借助函数的傅立叶变换求出该空间的权函数,在此基础上得出再生核空间的再生核函数,由此得到平移不变再生核Hilbert空间中的采样定理,并给出其收敛性和误差估计。最后,在由线性变换基本定理建立的再生核Hilbert空间中,利用这类再生核Hilbert空间中再生核函数的性质,得到更一般的采样定理,并证明其收敛性和误差估计。所得的采样公式是由其再生核函数和函数在采样点处的函数值建立的,简化了该空间的数值计算,并为再生核Hilbert空间中的数值逼近问题提供了理论依据。本文着重利用不同的再生核Hilbert空间中再生核函数的特殊性质,在相应的再生核Hilbert空间中分别讨论了函数的采样问题。这为解决一般的再生核Hilbert空间中的采样问题提供了理论基础。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 绪论
• 1.1 课题背景及研究的目的和意义
• 1.1.1 采样理论的产生与发展
• 1.1.2 再生核理论的发展概况
• 1.1.3 课题研究的目的和意义
• 1.2 课题主要研究的内容
• 第2章 预备知识
• 2.1 尺度函数与采样定理
• 2.1.1 多尺度分析
• 2.1.2 小波空间及小波展开系数
• 2.1.3 Shannon 采样定理
• 2.2 再生核理论
• 2.2.1 再生核的定义及举例
• 2.2.2 再生核的基本性质
• 2.3 本章小结
• 第3章 平移不变再生核HILBERT 空间中的采样定理
• 3.1 引言
• 3.2 RIESZ 基的定义
• 3.2.1 Riesz 基的定义
• 3.2.2 再生核Hilbert 空间Riesz 基的性质及其采样公式
• 3.3 平移不变再生核HILBERT 空间中的采样定理
• 3.4 误差估计
• 3.5 本章小结
• 第4章 再生核HILBERT 空间中的采样定理
• 4.1 引言
• 4.2 线性变换的基本定理
• 4.3 再生核HILBERT 空间中的采样定理
• 4.4 误差估计
• 4.5 本章小结
• 结论
• 参考文献
• 攻读硕士学位期间发表的学术论文
• 致谢