论文摘要
在本文中，我们将分别构造BCN根系分次李代数以及B（0，N）根系分次李超代数的表示。早在1992年Berman和Moody为了理解Slodowy提出的广义相交矩阵代数对有限约化根系分次李代数的概念给出了严格的定义，同时他们在模掉中心扩张的基础上给出了Al，l≥2，Dl,l≥4和E6，E7，E8这些类型根系分次李代数的分类。后来Benkart和Zelmanov同样在模掉中心扩张的基础上给出了类型为A1，Bl，l≥2，Cl，l≥3，F4和G2的根系分次李代数的分类。Neher用Jordan代数的方法对除E8，F4和G2三种类型以外其余所有类型的根系分次李代数给出了分类。其实对于根系分次李代数的研究可以追溯到Seligman和Tits的工作。2000年Allison等人通过求出具体的万有中心扩张对上述所有类型的根系分次李代数给出了完全分类，对这些李代数的分类工作在分类高维仿射李代数的时候起到了至关重要的作用（参见[4]和[10]）。特别地，除了A2l（2）之外所有的仿射Kac-Moody李代数都是有限约化根系分次李代数。为了包含扭仿射Kac-Moody李代数A2l（2）并且对非约化类型的高维仿射李代数进行分类，Allison等人给出了非约化根系BCN分次李代数的概念（见[3]）。BCN型根系分次李代数不仅在高维仿射李代数中出现（参见[1]），同时在Seligman研究的有限维迷向单李代数中也出现过，另外一个重要的例子就是Gelfand和Zelevinsky，Maliakas以及Proctor等人研究的“奇辛李代数”。根系分次李代数的一个自然推广就是根系分次李超代数，与李代数不同的是即使对于有限维的李超代数也还没有严格的根系理论，只有Kac提出的经典单李超代数的根系，因此Benkart和Elduque在此基础上给出了有限根系分次李超代数的概念，并且在模掉中心扩张的基础上给出了类型为A（m，n），B（m，n），C（n），D（m，n），D（2，1；α），F4，G（3）的根系分次李超代数的分类；另外Garcia和Neher从Jordan超对的角度也对B（m，n）型根系分次李超代数进行了研究。后来，Martinez和Zelmanov对类型为P（n）和Q（n）的根系分次李超代数进行了讨论。到目前为止，根系分次李代数和根系分次李超代数的结构理论已经比较清楚了，但是除了一些特殊情况以外（特别是仿射Kac-Moody李代数）这些代数的表示理论还没有被广泛的研究。在本文的第2章和第3章中，我们依赖参变量q来构造一些费米算子和泊松算子进而得到一些BCN根系分次李代数和B（0，N）根系分次李超代数的表示，这些代数是以量子环面为系数的矩阵代数的子代数的非平凡中心扩张。具体的结论见定理2.3，定理2．4和定理3．3。