张量概念的形成与张量分析的建立

论文摘要

张量分析在数学物理学中占据重要地位。由于广义相对论的成功,张量分析逐渐被人们所重视。更重要的是规范场论和弦理论的建立,张量分析被应用到了更加广泛的领域。而如此重要的数学分支的历史却极少被研究,这不能不说是一个很大的缺憾。在发掘、搜集、整理、分析张量数学的原始文献的基础上,运用概念分析的方法,梳理、研究、探讨了张量数学的发展史,得到了若干新的发现。首先,找到了向量的代数定义的原始文献,这是张量数学发展史研究的中间链条。如果没有向量的代数定义,这种扩张量是无法超出三维情形的。而张量是一种高维的数学量,因此向量的代数定义是通向张量概念的非常重要的概念。在关于张量数学史的研究中,这是一个被忽略的内容。其次,解读了张量概念的电磁学起源。从电磁学角度揭示了张量概念的物理学源头。而在过去,则一直把弹性力学作为张量概念起点,事实上,应用力学与张量概念的起源关系不大。论文最重要的发现是考证了第一个在现代意义上使用tensor的学者。论文系统论述了张量分析的建立过程。从非欧空间观念、高斯的内蕴思想、黎曼的n维流形、格拉斯曼的高维空间观念、凯莱的n维向量空间开始,逐一陈述了张量数学的历史。张量分析作为解决曲线坐标系中微分运算的数学方法,是从高斯的内蕴几何开始孕育的。而第一个真正提出这个问题的是黎曼,他的n维流形的构想,具体地提出了弯曲空间中二次微分形式的变换问题,这是通向张量分析的起点。随后,经过贝尔特拉米、克里斯托夫、里奇等人的发展,这种方法终于得以建立。作为补充,简述了张量分析的应用史。包括爱因斯坦、希尔伯特的引力场方程,以及外尔、列维-齐维塔的黎曼几何学。这里的新发现是考证了“黎曼几何学”这个名词的最早出处。张量分析的产生,依赖19世纪的代数和几何的解放。正是非欧几何和抽象代数的出现,使得张量分析得以产生。而张量分析与黎曼几何的深入发展,极大地促进了现代数学的进步。这使得对张量数学史的研究具有深刻的意义。

论文目录

• 中文摘要
• Abstract
• 导论
• 一 论文选题的意义
• 二 关于张量数学的几个重要问题
• 三 论文的基本内容
• 四 国内外研究现状
• 五 思路、研究方法、创新点与不足之处
• 第一章 流形理论:张量概念形成的几何学进路
• 第二节 弯曲空间观念的形成:黎曼流形的渊源之一
• 1、非欧空间观念形成:张量数学的萌芽
• 2、弯曲空间的首次探索:张量分析的几何学基础
• 第二节 高维空间观念的形成:黎曼流形的渊源之二
• 1、格拉斯曼的n维向量空间
• 2、凯莱的n维解析几何
• 第三节 黎曼构造流形概念:张量表示空间形成
• 1、黎曼构造"流形"的思路
• 2、黎曼"流形"的内涵
• 第二章 不变量理论:张量概念形成的代数学进路
• 第一节 格拉斯曼的几何演算:扩张量的首次引进
• 第二节 代数形式不变量理论:张量分析的核心
• 1、代数形式与不变量
• 2、向量的代数定义
• 3、西尔维斯特的代数形式不变量理论
• 第三节 矩阵表征:向量和张量共同的语言
• 第三章 协变理论:张量概念形成的电磁学进路
• 第一节 tensor:首次出现及最初含义
• 第二节 电动力学中的张量概念
• 1、明可夫斯基的六元矢量:二阶反对称张量
• 2、洛仑兹理论中的张量概念
• 第三节 tensor:"张量"涵义的首次出现
• 1、诺德斯托姆赋予tensor张量内涵
• 2、劳厄的张量概念
• 第四章 协变微分:张量分析的建立
• 第一节 微分形式不变量:张量分析的灵魂
• 第二节 克里斯托弗符号:张量分析的出现
• 第三节 里奇综合:张量分析最终建立
• 第四节 爱因斯坦理论:张量分析的重述
• 第五章 相对论和黎曼几何:张量分析的应用
• 第一节 广义相对论:张量分析的物理实现
• 1、爱因斯坦的方案
• 2、希尔伯特的方案
• 第二节 黎曼几何学:张量分析的数学实现
• 1、外尔的总结
• 2、契维塔的发展
• 结束语
• 参考文献
• 博士期间的学术成果
• 致谢